Smooth infinitesimal analysis

rdf:langString Гладкий инфинитезимальный анализ

rdf:langString Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Уильяма Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел . Нильпотентными инфинитезималями называют числа , удовлетворяющие условию ; при этом совсем не обязательно Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключённого третьего, утверждающего, что из следует В частности, для некоторых инфинитезималей нельзя доказать ни , ни . То, что закон исключённого третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы: В гладком инфинитезимальном анализе любая функция, домен которой — (вещественные числа, дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема. Несмотря на это, можно попробовать определить разрывную функцию, например, как Если бы закон исключённого третьего выполнялся, это было бы полностью определённой, разрывной функцией. Однако существует множество значений — инфинитезималей, — для которых не выполняется ни , ни , так что эта функция определена не на всём . В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно, эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями. Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — , где — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается . Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но недоказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе. Интуитивно гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удаётся потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.