Quadrature of the Parabola
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A Quadratura da Parábola é um tratado de geometria, escrito por Arquimedes, em que ele apresenta 24 proposições a respeito das parábolas.
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对抛物线的求积（希臘語：Τετραγωνισμὸς παραβολῆς）是古希腊数学家阿基米德的一篇几何学论文，成文于公元前三世纪。此论文源自阿基米德寄往他的朋友多西修斯的信中（其中包括有关抛物线的24个命题），最终证明了抛物线与直线之间的面积是其内切三角形的面积的 倍。 论文中陈述使用的是穷竭法。阿基米德将所求区域分割成无限个三角形，三角形的面积则形成了一个等比数列。阿基米德计算了这个等比数列的加和，然后证明了这个加和是抛物线圆缺的面积。此為古代数学穷竭法中最精妙的用法，直到17世纪积分学的发展，卡瓦列里的求积公式取代它之前，它一直是无与伦比的。
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تربيع القطع المكافئ (باليونانية: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) هي أطروحة هندسية كتبها أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد وموجهة لصديقه السكندري دوسيثوس Dositheus. احتوت على 24 مبرهنة حول القطع المكافئ، وتنتهي ببرهانين يبينان أن مساحة القطعة المستقيمة المكافئية (المنطقة المحاطة بقطع مكافئ ومستقيم) هي 4/3 مساحة مثلث ما محاط بالخط المستقيم والقطع المكافيء.
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La quadratura de la paràbola fou un dels tractats del matemàtic grec Arquimedes que es referien principalment al mètode d’exhaustió (és a dir, essencialment al càlcul integral).Enviat al seu amic Dositeu, en l’obra figura la resolució del problema de trobar la quadratura del segment parabòlic (més concretament, en la proposició 17 de les 24).
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Kvadratura paraboly je geometrické pojednání, které napsal řecký matematik Archimédés ve 3. století př. n. l. formou dopisu svému příteli Dositeusovi. Práce obsahuje 24 tézí o parabole, také formuloval důkaz, že oblast parabolického segmentu je 4/3 vepsaného trojúhelníka, který je dán: - úsečkou, která vymezuje parabolickou úseč - vrcholem parabolické úseče Důkaz používá . Archimédés rozkládá oblast na nekonečně mnoho trojúhelníků. Metoda vyčerpání, kterou Archimédés používá pro výpočet plochy segmentu. - úsečkou, která vymezuje parabolickou úseč
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La cuadratura de la parábola (en griego: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) es un tratado sobre geometría, escrito por Arquímedes en el siglo III a.C. en forma de carta a su amigo Dositeo. Presenta 24 proposiciones sobre las parábolas, culminando con la demostración de que el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea recta) es 4/3 de la del triángulo inscrito.
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Quadrature of the Parabola (Greek: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) is a treatise on geometry, written by Archimedes in the 3rd century BC and addressed to his Alexandrian acquaintance Dositheus. It contains 24 propositions regarding parabolas, culminating in two proofs showing that the area of a parabolic segment (the region enclosed by a parabola and a line) is that of a certain inscribed triangle.
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La Quadrature de la parabole est un traité de géométrie écrit par Archimède au IIIe siècle av. J.-C., sous la forme d'une lettre à son ami Dosithée (Dositheus). Cette œuvre énonce 24 propositions sur les paraboles et démontre que l'aire d'un segment de parabole (région délimitée par une parabole et une corde) est égale aux 4/3 de l'aire du triangle inscrit dont la médiane est parallèle à l'axe de la parabole. La Quadrature de la parabole est un des premiers textes présentant une quadrature effective d'une surface délimitée par une courbe.
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La Quadratura della Parabola (in greco: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) è un trattato di geometria, scritto da Archimede nel III secolo a.C. e indirizzato al suo conoscente alessandrino Dositeo. Contiene 24 proposizioni riguardanti le parabole, culminanti in due prove che dimostrano che l'area di un segmento parabolico (la regione racchiusa da una parabola e da una retta ) è 4/3 di quella di un dato triangolo inscritto.
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Квадратура параболы (греч. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до н.э. и адресованная его александрийскому знакомому Досифею. Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства. Они показывают, что площадь сегмента параболы (область между параболой и прямой) равна 4/3 определённого вписанного треугольника.
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تربيع القطع المكافئ
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La quadratura de la paràbola
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Kvadratura paraboly
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Quadratur der Parabel
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La cuadratura de la parábola
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Quadrature of the Parabola
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Quadratura della parabola
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La Quadrature de la parabole (Archimède)
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Quadrature of the Parabola
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A Quadratura da Parábola
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Квадратура параболы
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抛物线的求积
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La quadratura de la paràbola fou un dels tractats del matemàtic grec Arquimedes que es referien principalment al mètode d’exhaustió (és a dir, essencialment al càlcul integral).Enviat al seu amic Dositeu, en l’obra figura la resolució del problema de trobar la quadratura del segment parabòlic (més concretament, en la proposició 17 de les 24). Arquimedes declara en el text realitzar el descobriment mitjançant la mecànica i haver-lo confirmat després amb la geometria. En efecte, el matemàtic grec proporciona en un principi una demostració mitjançant la mecànica (la qual reprodueix, encara que de manera més breu, en la seva obra posterior El Mètode); mes no considera la prova com prou rigorosa i en les set proposicions que segueixen (de la 18 a la 24) ens mostra una segona demostració diferent del mateix teorema. La quadratura de la paràbola tingué un ressò molt important, ja que pels temps d’Arquimedes les seccions còniques ja es coneixien des de fa aproximadament un segle, però fins llavors no s’havia produït cap avanç en qüestió al càlcul de les àrees relacionades amb aquestes.
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Kvadratura paraboly je geometrické pojednání, které napsal řecký matematik Archimédés ve 3. století př. n. l. formou dopisu svému příteli Dositeusovi. Práce obsahuje 24 tézí o parabole, také formuloval důkaz, že oblast parabolického segmentu je 4/3 vepsaného trojúhelníka, který je dán: - úsečkou, která vymezuje parabolickou úseč - vrcholem parabolické úseče Důkaz používá . Archimédés rozkládá oblast na nekonečně mnoho trojúhelníků. Metoda vyčerpání, kterou Archimédés používá pro výpočet plochy segmentu. V díle Metoda neboli Poselství Eratosthenovi o mechanické metodě na řešení geometrických úloh, které bylo náhodou objeveno na pergamenu v Cařihradě roku 1906, Archimédes uvádí mechanickou metodu páky, pomocí níž zjišťuje obsah parabolické úseče. Toto řešení je založeno na vyvažování dané parabolické úseče a jistého trojúhelníku, přičemž obsah parabolické úseče je 1/3 onoho trojúhelníku. Tento jistý trojúhelník je dán: - úsečkou, která vymezuje parabolickou úseč - tečnou k parabolické úseči procházející průsečíkem, který je dán průnikem paraboly a úsečky vymezující parabolickou úseč - rovnoběžkou s osou paraboly procházející druhým průsečíkem, který je dán průnikem paraboly a úsečky vymezující parabolickou úseč Je zřejmé, že takové trojúhelníky lze nalézt pro danou parabolickou úseč dva, pro které platí výše zmíněný předpoklad. Navíc platí vztah: jistý trojúhelník daný tečnou parabolické úseče je čtyřnásobkem trojúhelníku vepsaného do parabolické úseče.
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تربيع القطع المكافئ (باليونانية: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) هي أطروحة هندسية كتبها أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد وموجهة لصديقه السكندري دوسيثوس Dositheus. احتوت على 24 مبرهنة حول القطع المكافئ، وتنتهي ببرهانين يبينان أن مساحة القطعة المستقيمة المكافئية (المنطقة المحاطة بقطع مكافئ ومستقيم) هي 4/3 مساحة مثلث ما محاط بالخط المستقيم والقطع المكافيء. تعد الأطروحة أشهر أعمال أرخميدس، تحديدا لاستخدامه المبتكر لطريقة الاستنفاد وكذا المتسلسلات الهندسية. قسم أرخميدس المنطقة لعدد لا نهائي من المثلثات التي مثلت مساحاتها متتالية هندسية. ثم قام بحساب مجموع المتسلسلة الهندسية الناتجة وأثبت أنه مساوٍ لمساحة القطعة المستقيمة المكافِئِّية. مثل هذا البرهان نموذجا متقدما في استخدام برهان الخُلْف في الرياضيات اليونانية القديمة، وظل حل أرخميدس غير مسبوق حتى ظهور صيغة كافالييري التربيعية ثم حساب التكامل في القرن السابع عشر.
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La cuadratura de la parábola (en griego: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) es un tratado sobre geometría, escrito por Arquímedes en el siglo III a.C. en forma de carta a su amigo Dositeo. Presenta 24 proposiciones sobre las parábolas, culminando con la demostración de que el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea recta) es 4/3 de la del triángulo inscrito. El enunciado del problema utiliza el método exhaustivo. Arquímedes va diseccionando el área en triángulos cada vez más pequeños de tal manera que sus áreas van formando una progresión geométrica. Calculó la suma de la serie geométrica resultante y demostró que esta era el área del segmento parabólico. La cuadratura de la parábola representó el uso más sofisticado del método exhaustivo o de agotamiento en las matemáticas antiguas, y no fue superada hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, siendo sucedido por la fórmula de cuadratura de Cavalieri.
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La Quadrature de la parabole est un traité de géométrie écrit par Archimède au IIIe siècle av. J.-C., sous la forme d'une lettre à son ami Dosithée (Dositheus). Cette œuvre énonce 24 propositions sur les paraboles et démontre que l'aire d'un segment de parabole (région délimitée par une parabole et une corde) est égale aux 4/3 de l'aire du triangle inscrit dont la médiane est parallèle à l'axe de la parabole. La Quadrature de la parabole est un des premiers textes présentant une quadrature effective d'une surface délimitée par une courbe. Cet écrit est également marquant par son mélange entre un raisonnement purement géométrique et un raisonnement faisant intervenir la notion de barycentre et la notion de pesée et c'est une des premières applications d'un raisonnement par exhaustion géométrique abouti.
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Quadrature of the Parabola (Greek: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) is a treatise on geometry, written by Archimedes in the 3rd century BC and addressed to his Alexandrian acquaintance Dositheus. It contains 24 propositions regarding parabolas, culminating in two proofs showing that the area of a parabolic segment (the region enclosed by a parabola and a line) is that of a certain inscribed triangle. It is one of the best-known works of Archimedes, in particular for its ingenious use of the method of exhaustion and in the second part of a geometric series. Archimedes dissects the area into infinitely many triangles whose areas form a geometric progression. He then computes the sum of the resulting geometric series, and proves that this is the area of the parabolic segment. This represents the most sophisticated use of a reductio ad absurdum argument in ancient Greek mathematics, and Archimedes' solution remained unsurpassed until the development of integral calculus in the 17th century, being succeeded by Cavalieri's quadrature formula.
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La Quadratura della Parabola (in greco: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) è un trattato di geometria, scritto da Archimede nel III secolo a.C. e indirizzato al suo conoscente alessandrino Dositeo. Contiene 24 proposizioni riguardanti le parabole, culminanti in due prove che dimostrano che l'area di un segmento parabolico (la regione racchiusa da una parabola e da una retta ) è 4/3 di quella di un dato triangolo inscritto. È una delle opere più note di Archimede, in particolare per il suo uso ingegnoso del metodo di esaustione e, nella seconda parte, della serie geometrica. Archimede potrebbe aver sezionato l'area in infiniti triangoli le cui aree formano una progressione geometrica. Quindi, calcolò la somma cui converge la serie geometrica risultante, e dimostrò che questa è l’area del segmento parabolico. Questo rappresenta l'uso più sofisticato di un argomento mediante la tecnica della reductio ad absurdum nella matematica greca antica. La soluzione di Archimede rimase insuperata fino allo sviluppo del calcolo integrale nel XVII secolo, quando fu dedotta la .
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A Quadratura da Parábola é um tratado de geometria, escrito por Arquimedes, em que ele apresenta 24 proposições a respeito das parábolas.
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Квадратура параболы (греч. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) — монография по геометрии, написанная Архимедом в III веке до н.э. и адресованная его александрийскому знакомому Досифею. Работа содержит 24 утверждения относительно парабол, собранных в два доказательства. Они показывают, что площадь сегмента параболы (область между параболой и прямой) равна 4/3 определённого вписанного треугольника. Это одна из наиболее известных работ Архимеда. Учёный сумел разбить площадь на бесконечное число треугольников, площади которых образуют геометрическую прогрессию. Затем он вычислил сумму получившегося геометрического ряда и доказал, что она является площадью параболического сегмента. Это доказательство является примером использования апапогии у математиков древней Греции, и решение Архимеда оставалось непревзойдённым вплоть до развития интегрирования в XVII веке, когда было заменено квадратурной формулой Кавальери.
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对抛物线的求积（希臘語：Τετραγωνισμὸς παραβολῆς）是古希腊数学家阿基米德的一篇几何学论文，成文于公元前三世纪。此论文源自阿基米德寄往他的朋友多西修斯的信中（其中包括有关抛物线的24个命题），最终证明了抛物线与直线之间的面积是其内切三角形的面积的 倍。 论文中陈述使用的是穷竭法。阿基米德将所求区域分割成无限个三角形，三角形的面积则形成了一个等比数列。阿基米德计算了这个等比数列的加和，然后证明了这个加和是抛物线圆缺的面积。此為古代数学穷竭法中最精妙的用法，直到17世纪积分学的发展，卡瓦列里的求积公式取代它之前，它一直是无与伦比的。
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