Power series
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في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنجليزية: Power series) (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل حيث تمثل an معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا. تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور. في العديد من الحالات، يكون المركز c مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين.في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط : يُمكن أن ينظَر إلى التمثيل العشري الاعتيادي للأعداد الحقيقية مثالا عن متسلسلات القوى بمعاملات صحيحة وبقيمة ثابتة ل x هي 1/10. على سبيل المثال،
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Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form mit
* einer beliebigen Folge reeller oder komplexer Zahlen
* dem Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung reeller Funktionen in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des Konvergenzradius.
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Matematikan, berretura-seriea aldagai baten berreturak dituen seriea da; puntu baten (c zentroaren) inguruan ematen da eta koefizienteak konstanteak ditu; honelakoa. Askotan, berretura-seriea jatorrizko funtzio bati dagokion Taylor serie bat izan ohi da, edo c=0 kasuan, MacLaurin serie bat.
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En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma: alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida. En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.
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수학에서 멱급수(冪級數, 영어: power series) 또는 거듭제곱 급수는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다.
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数学において、（一変数の）冪級数（べききゅうすう、英: power series）あるいは整級数（せいきゅうすう、仏: série entière）とは の形の無限級数である。ここで an は n 番目の項の係数を表し、c は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。 多くの状況において c（級数の中心 (center)）は 0 である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形 になる。 これらの冪級数は主に解析学において現れるが、組合せ論においても（形式的冪級数の一種である母関数として）現れ、電気工学においても（Z変換の名の下で）現れる。実数のよく知られたもまた冪級数の例と見ることができる。係数は整数であり、引数 x は 1/10 に固定されている。数論における p 進数の概念もまた冪級数の概念と密接に関係している。
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Szereg potęgowy – szereg funkcyjny postaci: gdzie stała zwana środkiem szeregu i współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna również może być rzeczywista lub zespolona.
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Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , daseguinte forma: o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números complexos. A convergência da série de potências depende da distânciaentre e no plano complexo: Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).
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En potensserie (i en variabel) är en serie på formen där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier. I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.
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Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .
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У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду: де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид: Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.
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在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“”一节）。单变量的幂级数形式为： 其中的c和是常数。称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。 如果把看成一项，那么幂级数可以化简为的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。 将一个函数写成幂级数的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。 幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为。在p-进数中则可以见到x被固定为的幂级数。
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En matemàtiques i particularment en anàlisi matemàtica, una sèrie de potències enteres anomenada també sèrie de potències o sèrie entera és una sèrie matemàtica de funcions de la forma On els coeficients an formen una successió real o complexa. La sèrie s'anomena de potències enteres a causa del fet que els exponents n són nombres enters.
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Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru kde an je koeficient n-tého členu, c je konstanta a x se mění v blízkosti c (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě c). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce. V mnoha situacích je c rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar
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In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form
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Deret pangkat atau Deret kuasa (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi. Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada . Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
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En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'« au XVIIe siècle, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en anxn. Par extension, ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini ».
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In matematica, una serie di potenze in una variabile è una serie di funzioni della forma: dove i coefficienti , il centro e la variabile argomento assumono, usualmente, valori reali o complessi. In matematica sono studiate anche serie di potenze di più variabili reali e complesse e serie di potenze di entità non numeriche (matrici, operatori, elementi di strutture algebriche, variabili formali, ...). Si considerano anche serie di potenze negative e di potenze intere sia negative che naturali. Da questa forma risulta evidente che le serie di potenze sono estensioni dei polinomi.
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In de wiskunde is een machtreeks (in één variabele) een reeks van de vorm Daarin heet het (complexe) getal de coëfficiënt van de -de macht van de variabele. Een machtreeks is een complexwaardige functie in de variabele . Een voorbeeld van een machtreeks is de maclaurin-reeks. Meer algemeen is een machtreeks gecentreerd rondom een (complex) getal een reeks van de volgende vorm: De complexe waarden van waar de machtreeks absoluut convergeert, vormen: 1.
* de gehele verzameling van de complexe getallen, , of 2.
* het singleton {0}, of 3.
* een open cirkelschijf rondom 0.
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متسلسلة قوى
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Sèrie de potències enteres
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Mocninná řada
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Potenzreihe
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Power series
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Serie de potencias
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Berretura-serie
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Deret pangkat
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Serie di potenze
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Série entière
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멱급수
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冪級数
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Machtreeks
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Szereg potęgowy
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Степенной ряд
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Série de potências
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Potensserie
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幂级数
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Степеневий ряд
xsd:integer
59958
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E.D.
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Power_series&oldid=15309
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Solomentsev
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Power series
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Power Series
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Formal Power Series
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FormalPowerSeries
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PowerSeries
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En matemàtiques i particularment en anàlisi matemàtica, una sèrie de potències enteres anomenada també sèrie de potències o sèrie entera és una sèrie matemàtica de funcions de la forma On els coeficients an formen una successió real o complexa. La sèrie s'anomena de potències enteres a causa del fet que els exponents n són nombres enters. Les sèries de potències enteres posseeixen propietats de convergència destacables, que s'expressen en gran part amb l'ajuda d'una mida associada a la sèrie, el seu radi de convergència R. Sobre el disc de convergència (disc obert de centre 0 i de radi R), la funció suma de la sèrie pot ser derivada indefinidament terme a terme. Recíprocament, certes funcions indefinidament derivables poden ser escrites a l'entorn d'un dels seus punts c com la suma d'una sèrie de potències de la variable z-c: en aquest cas aquesta és la seva sèrie de Taylor. Es parla en aquest cas de funcions desenvolupables en sèrie de potències enteres o simplement desenvolupades en sèrie entorn del punt c. Quan una funció és desenvolupable en sèrie en cadascun dels seus punts, s'anomena analítica. Les sèries de potències enteres apareixen en anàlisi matemàtica, però també en Combinatòria en tant que funció generatriu i es generalitzen en la noció de . En la teoria de nombres, el concepte de nombre p-àdic és proper al de sèrie de potències enteres. Les sèries de potències enteres també es generalitzen al cas de funcions de diverses variables.
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Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru kde an je koeficient n-tého členu, c je konstanta a x se mění v blízkosti c (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě c). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce. V mnoha situacích je c rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu x rovnou . Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.
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في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنجليزية: Power series) (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل حيث تمثل an معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا. تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور. في العديد من الحالات، يكون المركز c مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين.في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط : يُمكن أن ينظَر إلى التمثيل العشري الاعتيادي للأعداد الحقيقية مثالا عن متسلسلات القوى بمعاملات صحيحة وبقيمة ثابتة ل x هي 1/10. على سبيل المثال،
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Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form mit
* einer beliebigen Folge reeller oder komplexer Zahlen
* dem Entwicklungspunkt der Potenzreihe. Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung reeller Funktionen in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des Konvergenzradius.
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Matematikan, berretura-seriea aldagai baten berreturak dituen seriea da; puntu baten (c zentroaren) inguruan ematen da eta koefizienteak konstanteak ditu; honelakoa. Askotan, berretura-seriea jatorrizko funtzio bati dagokion Taylor serie bat izan ohi da, edo c=0 kasuan, MacLaurin serie bat.
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En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme où les coefficients an forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'« au XVIIe siècle, on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en anxn. Par extension, ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini ». Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence R, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme. Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z – c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en tout point d'un ouvert, elle est dite sur cet ouvert. Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonctions génératrices et se généralisent dans la notion de série formelle.
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En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma: alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida. En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple Es de utilidad al momento de construir conjuntos fundamentales de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de 2° orden cuyos coeficientes son funciones de una variable independiente.
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In mathematics, a power series (in one variable) is an infinite series of the form where an represents the coefficient of the nth term and c is a constant. Power series are useful in mathematical analysis, where they arise as Taylor series of infinitely differentiable functions. In fact, Borel's theorem implies that every power series is the Taylor series of some smooth function. In many situations, c (the center of the series) is equal to zero, for instance when considering a Maclaurin series. In such cases, the power series takes the simpler form Beyond their role in mathematical analysis, power series also occur in combinatorics as generating functions (a kind of formal power series) and in electronic engineering (under the name of the Z-transform). The familiar decimal notation for real numbers can also be viewed as an example of a power series, with integer coefficients, but with the argument x fixed at 1⁄10. In number theory, the concept of p-adic numbers is also closely related to that of a power series.
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Deret pangkat atau Deret kuasa (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk dengan an melambangkan koefisien suku ke-n, c adalah konstanta dan x berubah-ubah di sekitar c (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di c). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi. Pada banyak keadaan c sama dengan nol, contohnya pada . Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana: Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama ).
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In de wiskunde is een machtreeks (in één variabele) een reeks van de vorm Daarin heet het (complexe) getal de coëfficiënt van de -de macht van de variabele. Een machtreeks is een complexwaardige functie in de variabele . Een voorbeeld van een machtreeks is de maclaurin-reeks. Meer algemeen is een machtreeks gecentreerd rondom een (complex) getal een reeks van de volgende vorm: De complexe waarden van waar de machtreeks absoluut convergeert, vormen: 1.
* de gehele verzameling van de complexe getallen, , of 2.
* het singleton {0}, of 3.
* een open cirkelschijf rondom 0. De convergentiestraal van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2). In geval 1 representeert de machtreeks een gehele functie.
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수학에서 멱급수(冪級數, 영어: power series) 또는 거듭제곱 급수는 주어진 변수를 거듭제곱한 항들의 무한급수(무한차 다항식)이자 중심이 같은 일련의 멱함수들을 항으로 하는 무한 급수이다.
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数学において、（一変数の）冪級数（べききゅうすう、英: power series）あるいは整級数（せいきゅうすう、仏: série entière）とは の形の無限級数である。ここで an は n 番目の項の係数を表し、c は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。 多くの状況において c（級数の中心 (center)）は 0 である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形 になる。 これらの冪級数は主に解析学において現れるが、組合せ論においても（形式的冪級数の一種である母関数として）現れ、電気工学においても（Z変換の名の下で）現れる。実数のよく知られたもまた冪級数の例と見ることができる。係数は整数であり、引数 x は 1/10 に固定されている。数論における p 進数の概念もまた冪級数の概念と密接に関係している。
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In matematica, una serie di potenze in una variabile è una serie di funzioni della forma: dove i coefficienti , il centro e la variabile argomento assumono, usualmente, valori reali o complessi. In matematica sono studiate anche serie di potenze di più variabili reali e complesse e serie di potenze di entità non numeriche (matrici, operatori, elementi di strutture algebriche, variabili formali, ...). Si considerano anche serie di potenze negative e di potenze intere sia negative che naturali. Serie di potenze di uso frequente sono quelle ottenute da sviluppi di Taylor di funzioni particolari (molti esempi si trovano nella voce serie di Taylor e in quelle sulle funzioni speciali). In molte situazioni interessano prevalentemente serie con il centro uguale a zero, ad esempio quando si considera una serie di Maclaurin. In questi casi la serie di potenze assume la forma più semplice Da questa forma risulta evidente che le serie di potenze sono estensioni dei polinomi. Le serie di potenze sono trattate primariamente nell'analisi matematica, ma svolgono un ruolo importante anche nella combinatoria (come serie formali di potenze e con il ruolo delle funzioni generatrici) e nell'ingegneria elettrica (con il nome di trasformata zeta). La familiare notazione decimale per i numeri reali compresi fra e si può considerare un esempio di serie di potenze con la variabile argomento fissata al valore 1/10 (come la notazione decimale per gli interi si può considerare un caso particolare di polinomio). Inoltre il concetto di numero p-adico della teoria dei numeri è strettamente collegato a quello di serie di potenze.
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Szereg potęgowy – szereg funkcyjny postaci: gdzie stała zwana środkiem szeregu i współczynniki są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna również może być rzeczywista lub zespolona.
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Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , daseguinte forma: o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números complexos. A convergência da série de potências depende da distânciaentre e no plano complexo: Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).
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En potensserie (i en variabel) är en serie på formen där koefficienterna an, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier. I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.
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Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .
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У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду: де an — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид: Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.
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在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“”一节）。单变量的幂级数形式为： 其中的c和是常数。称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。 如果把看成一项，那么幂级数可以化简为的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。 将一个函数写成幂级数的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。 幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为。在p-进数中则可以见到x被固定为的幂级数。
xsd:nonNegativeInteger
19161
