Newton's method

rdf:langString Metodo delle tangenti

rdf:langString In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo che contiene una sola radice. Esempio di applicazione del metodo delle tangenti Il metodo consiste nel sostituire alla curva la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa del punto in cui la tangente interseca l'asse delle internamente all'intervallo . Procedendo in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo è che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle converge alla radice piuttosto rapidamente. Più in dettaglio, si dimostra che se dove è un opportuno intorno dello zero con e se allora cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni ). Se invece la radice è multipla, cioè allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita , il procedimento iterativo si fa terminare quando Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che sia disponibile direttamente per un dato . Nei casi in cui questo non si verifichi e risultasse necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.