Homology (mathematics)

rdf:langString Homologia (matemática)

rdf:langString Em matemática (especialmente topologia algébrica e álgebra abstrata), homologia (em parte do Grego ὁμός homos "identical") é uma maneira geral de associar uma sequência de objetos algébricos tais como grupos ou grupos abelianos ou módulos a outros objetos matemáticos tais como o espaço topológico. Na linguagem da teoria das categorias, dizemos que uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos espaços topológicos na categoria dos grupos abelianos graduados. Grupos de homologia foram originalmente definidos em topologia algébrica. No entanto, construções semelhantes estão disponíveis em uma ampla variedade de outros contextos, tais como grupos, álgebra de Lie, Teoria de Galois e geometria algébrica. Já em álgebra comutativa, uma teoria de homologia é um functor covariante da categoria dos complexos de cadeia na categoria dos grupos abelianos graduados. A álgebra homológica trata do estudo de tais functores. Além disto, existe dentro da teoria de categorias uma área de pesquisa denominada álgebra homológica abstrata, que generaliza as ferramentas da álgebra homológica ao contexto das categorias abelianas. Tal formulação da homologia algébrica foi concebida por A. Grothendieck para estudar feixes sobre variedades algébricas. A motivação original para a definição de grupos de homologia foi a observação de que duas formas podem ser distinguidas examinando seus buracos. Por exemplo, um círculo não é um disco porque o círculo tem um furo através dele enquanto o disco é sólido, e a esfera ordinária não é um círculo porque a esfera delimita um furo bidimensional enquanto o círculo delimita um furo unidimensional. No entanto, porque um buraco é "não existente", não é imediatamente óbvio como definir um buraco ou como distinguir diferentes tipos de buracos. Homologia foi originalmente um método matemático rigoroso para definir e categorizar os buracos em uma variedade. Falando superficialmente, um "círculo" é uma subvariedade fechada, uma "fronteira" é a fronteira de uma subvariedade com limite e uma "classe de homologia" (que representa um buraco) é uma classe de equivalência de círculo módulo limites. Existem muitas teorias de homologia diferentes. Um tipo particular de objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo, pode ter uma ou mais teorias de homologia associadas. Quando o objeto subjacente tem uma interpretação geométrica como os espaços topológicos, o n - grupo de homologia representa um comportamento exclusivo de dimensão n . Em geral, a maioria dos grupos de homologia ou módulos surgem como na apropriada categorias abelianas. Eles fornecem descrições concretas da falha de um functor para ser . A partir desta perspectiva abstrata, os grupos de homologia são determinados por objetos de uma .