Curl (mathematics)
http://dbpedia.org/resource/Curl_(mathematics) an entity of type: Company
Rotace je diferenciální operátor udávající v každém místě lokální míru rotace (otáčení) vektorového pole.
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ベクトル解析における回転（かいてん、英: rotation, curl）rot（または curl）は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するである。 ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与（大きさと向き）によってその点での回転が特徴付けられる。
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수학에서 회전(回轉, 영어: curl 컬[*])은 3차원 벡터장을 다른 3차원 벡터장으로 대응시키는 1차 미분 연산자의 하나이다. 수식에서 기호는 "" 또는 ""이다.
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De rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) (Engels: curl) is een eigenschap of functie van een driedimensionaal vectorveld. De rotatie in een punt van het veld geeft aan in welke mate de richting van het veld verandert. Vatten we het veld op als een stroming, dan geeft de rotatie in ieder punt aan, hoe snel en om welke as een meestromend deeltje zou draaien. De rotatie laat zich formeel als differentiaaloperator interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren gradiënt en divergentie tot de vectoranalyse, een deelgebied van de multivariabele analyse.
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Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
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Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле. З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору. Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.
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在向量分析中，旋度（英語：curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。 旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量场表示一个移动的流形的流速，则旋度是这个流形的环量面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场。旋度是向量的一种微分形式。微积分基本定理的对应形式是开尔文-斯托克斯定理，它将向量场旋度的曲面积分关联于这个向量场环绕边界曲线的曲线积分。 对于旋度curl F还经常使用可替代的术语回转度（rotation或rotational）和可替代的符号rot F和∇ × F。前者特别用于很多欧洲国家，后者使用del（或称nabla）算子和叉积，更多用于其它国家。 不同于梯度和散度，旋度不能简单的推广到其他维度；某些推广是可能的，但是只有在三维中，在几何上定义的向量场旋度还是向量场。这个现象类似于三维叉积，这个联系反应在旋度的符号∇ ×上。 旋度的名称“curl”最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在1871年提出，但这个概念显然最初用于在1839年对光学场理论的构建中。
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الدوران أو دوران الشعاع ورمزه : مؤثر تفاضلي يصف دورانية حقل متجهي ثلاثي الأبعاد. علما أن دوران متجه ما هو كذلك متجه تعبر خصائصه عن مدى دوران الحقل عند أي نقطة ويعد جيمس كلارك ماكسويل أول من قدم فكرة دوران المتجهات. ويجوز أن يعبر عن الدوران برموز مختلفة لكن أكثرها شيوعا هو ما ذكر آنفا ومن رموزه أو أو أو أو . في حال كان دوران الحقل المتجهي صفرا فإن الحقل المتجهي حينها يعد حقلا متجهيا لادورانيا والحقل اللادوراني هو بالضرورة حقل محافظ (أو احتفاظي) (على سبيل المثال المجال الكهربائي الساكن) كما يدعى كذلك مجال متجهي ملفي وأيضا مجال متجهي لابلاسي لإنه يحقق معادلة لابلاس.
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En càlcul vectorial, el rotacional és un operador vectorial que proporciona la velocitat de rotació d'un camp vectorial respecte a un punt determinat. Un camp vectorial el rotacional del qual és zero a tot arreu s'anomena irrotacional. Formalment el rotacional s'expressa com on és l'operador nabla. Evidentment aquest operador s'aplica sobre un camp vectorial, de manera que el rotacional d'un camp vectorial F s'expressa com Descompost en coordenades cartesianes, és (suposant F format per [Fx, Fy, Fz]): Una altra forma d'expressar el resultat és com el determinant de la matriu
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En vektora kalkulo, kirlo de vektora kampo, kiu estas alia vektora kampo. Kirlo estas kiu montras kurson de rotacio de vektora kampo: la direkton de la rotacia akso kaj la de la turnado. Ĝi povas ankaŭ esti priskribita kiel la cirkulada denseco. Vortoj "turnado" kaj "rotacio" estas uzitaj ĉi tie por propraĵoj de vektora funkcio de pozicio; ili ne temas pri ŝanĝoj kun tempo. Vektora kampo kiu havas nulan kirlon ĉie estas . En matematiko la kirlo estas skribata kiel: aŭ ankoraŭ kie estas la vektora diferenciala operatoro, kaj F estas la vektora kampo al kiu la kirlo estas aplikata.
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In vector calculus, the curl is a vector operator that describes the infinitesimal circulation of a vector field in three-dimensional Euclidean space. The curl at a point in the field is represented by a vector whose length and direction denote the magnitude and axis of the maximum circulation. The curl of a field is formally defined as the circulation density at each point of the field. The name "curl" was first suggested by James Clerk Maxwell in 1871 but the concept was apparently first used in the construction of an optical field theory by James MacCullagh in 1839.
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Als Rotation oder Rotor bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet. Die Rotation eines Strömungsfeldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht („rotiert“). Dieser Zusammenhang ist namensgebend. Beispiele:
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En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
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L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ vectoriel tridimensionnel, noté ou , fait correspondre un autre champ noté au choix : ou bien ou bien ou bien ou bien selon les conventions de notations utilisées pour les vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne l'est pas. Par exemple :
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Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore differenziale che ad un campo vettoriale tridimensionale fa corrispondere un altro campo vettoriale solitamente denotato da . In termini intuitivi, esso esprime una rotazione infinitesima (i.e. una velocità di rotazione) del vettore dato, associando a ogni punto dello spazio un vettore.
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Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional ele será dado por um vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.
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Rotation (rot eller curl) är en operator inom vektoranalys. Ett vektorfälts rotation i en punkt P är en vektor. Denna vektors komponent längs en axel n kan definieras som gränsvärdet för en cirkulationsintegral enligt formeln: I kartesiska koordinater kan rotationen till ett vektorfält F, där F är sammansatt av [Fx, Fy, Fz], beräknas med determinanten där i, j, och k är enhetsvektorerna för x-, y- respektive z-axeln. Determinanten kan expanderas enligt Detta kan även skrivas med hjälp av nablaoperatorn som ∇ × F. beräkna den formella determinanten ovan Farten ges alltså av halva styrke-konstanten.
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Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается разными способами:
* (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
* (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
* — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: .
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دوران (متجهات)
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Rotacional
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Rotace (operátor)
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Rotation eines Vektorfeldes
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Kirlo (matematiko)
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Rotacional
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Curl (mathematics)
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Rotationnel
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Rotore (matematica)
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回転 (ベクトル解析)
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회전 (벡터)
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Rotatie (vectorveld)
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Rotacja
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Rotacional
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Ротор (дифференциальный оператор)
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Rotation (vektoranalys)
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Ротор (математика)
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旋度
xsd:integer
6123
xsd:integer
1120455344
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The thumb points in the direction of and the fingers curl along the orientation of
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Convention for vector orientation of the line integral
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Vector field F=[0,−x2] and its curl .
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Vector field F=[y,-x] and its curl .
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The components of at position , normal and tangent to a closed curve in a plane, enclosing a planar vector area .
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Right-hand rule
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p/c027310
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Curl of nonuniform curl.png
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Curl of uniform curl.png
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Curl.svg
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Curlorient.svg
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Nonuniform curl.svg
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Right hand rule simple.png
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Uniform curl.svg
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Curl
xsd:integer
320
400
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En càlcul vectorial, el rotacional és un operador vectorial que proporciona la velocitat de rotació d'un camp vectorial respecte a un punt determinat. Un camp vectorial el rotacional del qual és zero a tot arreu s'anomena irrotacional. Formalment el rotacional s'expressa com on és l'operador nabla. Evidentment aquest operador s'aplica sobre un camp vectorial, de manera que el rotacional d'un camp vectorial F s'expressa com Descompost en coordenades cartesianes, és (suposant F format per [Fx, Fy, Fz]): Malgrat estar expressat en coordenades, el resultat és invariant sota rotacions pròpies dels eixos de coordenades. Nogensmenys, el resultat s'inverteix sota reflexions. Una altra forma d'expressar el resultat és com el determinant de la matriu on i, j, i k són els vectors unitaris en els eixos x, y i z, respectivament. En la notació d'Einstein, amb el símbol de Levi-Civita s'expressa com
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Rotace je diferenciální operátor udávající v každém místě lokální míru rotace (otáčení) vektorového pole.
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الدوران أو دوران الشعاع ورمزه : مؤثر تفاضلي يصف دورانية حقل متجهي ثلاثي الأبعاد. علما أن دوران متجه ما هو كذلك متجه تعبر خصائصه عن مدى دوران الحقل عند أي نقطة ويعد جيمس كلارك ماكسويل أول من قدم فكرة دوران المتجهات. ويجوز أن يعبر عن الدوران برموز مختلفة لكن أكثرها شيوعا هو ما ذكر آنفا ومن رموزه أو أو أو أو . في حال كان دوران الحقل المتجهي صفرا فإن الحقل المتجهي حينها يعد حقلا متجهيا لادورانيا والحقل اللادوراني هو بالضرورة حقل محافظ (أو احتفاظي) (على سبيل المثال المجال الكهربائي الساكن) كما يدعى كذلك مجال متجهي ملفي وأيضا مجال متجهي لابلاسي لإنه يحقق معادلة لابلاس. علما أن تباعد أي دوران لأي مجال متجهي يساوي صفر.
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Als Rotation oder Rotor bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet. Die Rotation eines Strömungsfeldes gibt für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der sich ein mitschwimmender Körper dreht („rotiert“). Dieser Zusammenhang ist namensgebend. Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes. Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist. Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes. Beispiele:
* Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windrichtung und -geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges (der Rotationsachse) eine von null verschiedene Rotation.
* Das Vektorfeld das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, Siehe Abbildung
* Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.
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En vektora kalkulo, kirlo de vektora kampo, kiu estas alia vektora kampo. Kirlo estas kiu montras kurson de rotacio de vektora kampo: la direkton de la rotacia akso kaj la de la turnado. Ĝi povas ankaŭ esti priskribita kiel la cirkulada denseco. Vortoj "turnado" kaj "rotacio" estas uzitaj ĉi tie por propraĵoj de vektora funkcio de pozicio; ili ne temas pri ŝanĝoj kun tempo. Vektora kampo kiu havas nulan kirlon ĉie estas . En matematiko la kirlo estas skribata kiel: aŭ ankoraŭ kie estas la vektora diferenciala operatoro, kaj F estas la vektora kampo al kiu la kirlo estas aplikata. En karteziaj koordinatoj, estas por F=[Fx, Fy, Fz]: La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj pozitivaj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco kirlo ne dependas de koordinatosistemo uzata. Tamen, la rezulto inversiĝas sub reflekto. Simpla sed ne tute formala vojo por priskribi la elvolvitan formon de la kirlo estas skribi ĝin kiel la determinanto de jena matrico: kie i, j, kaj k estas la unuoblaj vektoroj por la x, y, kaj z aksoj respektive.
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In vector calculus, the curl is a vector operator that describes the infinitesimal circulation of a vector field in three-dimensional Euclidean space. The curl at a point in the field is represented by a vector whose length and direction denote the magnitude and axis of the maximum circulation. The curl of a field is formally defined as the circulation density at each point of the field. A vector field whose curl is zero is called irrotational. The curl is a form of differentiation for vector fields. The corresponding form of the fundamental theorem of calculus is Stokes' theorem, which relates the surface integral of the curl of a vector field to the line integral of the vector field around the boundary curve. Curl F is a notation common today to the United States and Americas. In many European countries, particularly in classic scientific literature, the alternative notation rot F is traditionally used, which is spelled as "rotor", and comes from the "rate of rotation", which it represents. For avoiding confusion modern authors tend to use the cross product notation with the del (nabla) operator ∇ × F, which also reveals the relation between curl(rotor), divergence, and gradient operators. Unlike the gradient and divergence, curl as formulated in vector calculus does not generalize simply to other dimensions; some are possible, but only in three dimensions is the geometrically defined curl of a vector field again a vector field. This deficiency is a direct consequence of the limitations of vector calculus; on the other hand, when expressed as an antisymmetric tensor field via the wedge operator of geometric calculus, the curl generalizes to all dimensions. The unfortunate circumstance is similar to that attending the 3-dimensional cross product, and indeed the connection is reflected in the notation ∇× for the curl. The name "curl" was first suggested by James Clerk Maxwell in 1871 but the concept was apparently first used in the construction of an optical field theory by James MacCullagh in 1839.
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En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un abierto de que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto: Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta: La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.
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L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ vectoriel tridimensionnel, noté ou , fait correspondre un autre champ noté au choix : ou bien ou bien ou bien ou bien selon les conventions de notations utilisées pour les vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne l'est pas. Par exemple :
* dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'œil. La vitesse instantanée de rotation d'un élément de volume dans un tourbillon est la moitié du rotationnel en ce point ;
* le rotationnel du champ des vitesses d'un solide qui tourne à la vitesse angulaire est dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct et vaut simplement . La notion de rotationnel de la vitesse est essentielle en mécanique des fluides. Elle décrit une rotation de la particule fluide. Si l'écoulement est irrotationnel (son rotationnel est nul en tout point), en termes mathématiques, le vecteur vitesse est alors le gradient du potentiel (on dit alors que les vitesses « dérivent d'un potentiel »). Si le fluide peut être considéré comme incompressible, la divergence de ce vecteur s'annule. Le laplacien du potentiel est donc nul : il s'agit d'un potentiel harmonique qui satisfait l'équation de Laplace.
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ベクトル解析における回転（かいてん、英: rotation, curl）rot（または curl）は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するである。 ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与（大きさと向き）によってその点での回転が特徴付けられる。
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Nel calcolo differenziale vettoriale, il rotore di un campo vettoriale tridimensionale è un operatore differenziale che ad un campo vettoriale tridimensionale fa corrispondere un altro campo vettoriale solitamente denotato da . In termini intuitivi, esso esprime una rotazione infinitesima (i.e. una velocità di rotazione) del vettore dato, associando a ogni punto dello spazio un vettore. Si tratta di un vettore allineato con l'asse di rotazione; il suo verso è coerente con quello della rotazione secondo la regola della mano destra e la sua lunghezza è il valore della circuitazione del campo (la sua integrazione lungo un percorso chiuso) per unità di area, cioè nel limite in cui la curva di integrazione si riduce ad un punto. Ad esempio, se come campo vettoriale si considera la velocità delle particelle che compongono un qualche fluido, il rotore del campo vettoriale è la densità di circolazione del fluido. I campi vettoriali che hanno rotore uguale a zero sul proprio dominio sono chiamati irrotazionali. Il rotore, indicato con , misura la massima componente rotazionale piana nello sviluppo di Taylor di un campo vettoriale al primo ordine, ovvero nella linearizzazione del campo in 3 dimensioni. Pertanto, si tratta di un tipo di derivazione di un campo vettoriale. La relativa integrazione avviene tramite il teorema del rotore, caso particolare del teorema di Stokes, che mette in relazione l'integrale di superficie del rotore del campo vettoriale con l'integrale di linea del campo vettoriale lungo la frontiera di . A differenza di gradiente e divergenza, generalizzare il rotore a spazi a più di tre dimensioni non è possibile. Esistono alcune generalizzazioni, ma solo in spazi tridimensionali (anche non euclidei come le varietà riemanniane tridimensionali) la definizione geometrica di rotore di un campo vettoriale fornisce un altro campo vettoriale. Da questo punto di vista, il rotore ha proprietà simili a quelle del prodotto vettoriale.
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수학에서 회전(回轉, 영어: curl 컬[*])은 3차원 벡터장을 다른 3차원 벡터장으로 대응시키는 1차 미분 연산자의 하나이다. 수식에서 기호는 "" 또는 ""이다.
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De rotatie (Nederland) of rotor (Vlaanderen) (Engels: curl) is een eigenschap of functie van een driedimensionaal vectorveld. De rotatie in een punt van het veld geeft aan in welke mate de richting van het veld verandert. Vatten we het veld op als een stroming, dan geeft de rotatie in ieder punt aan, hoe snel en om welke as een meestromend deeltje zou draaien. De rotatie laat zich formeel als differentiaaloperator interpreteren en hoort samen met de andere differentiaaloperatoren gradiënt en divergentie tot de vectoranalyse, een deelgebied van de multivariabele analyse.
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Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional ele será dado por um vetor. Seu significado é empregado em diversos ramos da ciência, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos. Campos vetoriais nos quais o rotacional é diferente de zero, são ditos campos de vórtice (vortex, em latim). Portanto, o campo de velocidades de um corpo em rotação é um campo de vórtice e o rotacional de um campo pode ser interpretado como uma "medida" da capacidade de giro deste campo. Se o campo vetorial representa o campo de velocidades de um fluido, então o rotacional representará a circulação de um volume infinitesimal deste fluido por uma superfície. Neste caso, o módulo deste rotacional neste ponto dará o quanto a velocidade deste fluido gira e a direção deste rotacional será a da normal à superfície do giro, obedecendo-se a regra da mão direita. Um campo vetorial cujo rotacional é zero é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais conservativos, como aqueles dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb, são campos irrotacionais; em outras palavras, nada girará sob a ação exclusiva destes campos.
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Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается разными способами:
* (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
* (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
* — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: . Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле называется ротором поля или просто ротором и представляет собой новое векторное поле: Поле (длина и направление вектора в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля в соответствующих точках.
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Rotation (rot eller curl) är en operator inom vektoranalys. Ett vektorfälts rotation i en punkt P är en vektor. Denna vektors komponent längs en axel n kan definieras som gränsvärdet för en cirkulationsintegral enligt formeln: där area(C) betecknar mätetalet för den area som omsluts av den slutna kurvan C, där C innehåller P och är i ett plan vinkelrätt mot n. Fysikaliskt betyder alltså rotationen att vi mäter arbetet (räknat med tecken) som går åt för att flytta en liten partikel runt en punkt P med axeln i riktning n i till exempel cirkulära små banor (det går även bra med andra former på banorna, säg fyrkantiga eller elliptiska). I kartesiska koordinater kan rotationen till ett vektorfält F, där F är sammansatt av [Fx, Fy, Fz], beräknas med determinanten där i, j, och k är enhetsvektorerna för x-, y- respektive z-axeln. Determinanten kan expanderas enligt Detta kan även skrivas med hjälp av nablaoperatorn som ∇ × F. Rotationen är intressant därför att den ger en (första) generalisering av analysens fundamentalsats, det vill säga hur en ytintegral ges i form av en integral längs ytans rand. Istället för att obestämd integral och derivata är inversa operationer, blir rotationen och ytintegration inversa par, på analogt (men ej exakt samma) sätt. Motsvarande (andra) generaliseringar ges av begreppet divergens. Rotation och divergens är alltså nära sammankopplade; de övergår för övrigt båda i Greens formel i planet när man betraktar vektorfält bara i planet. Man kan visa att rotationen i en punkt mäter hur mycket ett mycket litet "paddelhjul" snurrar i punkten, närmare bestämt är den dubbla vinkelhastigheten. Skulle man jämnt fördelat strö ut barr i en vattenvirvel, säg, när man tappar ur vattnet ur badkaret borde de ge en bra bild av hur rotationen som uppstår av vektorfältet (som härrör från kraften badkarsutsuget ger upphov till) geometriskt ser ut i varje punkt. Man inser att benämningen rotation är väl vald. Ett vektorfält vars rotation är noll kallas virvelfritt eller rotationsfritt, vilket känns naturligt i ljuset av ovanstående geometriska beskrivning. Typiska virvelfria vektorfält inkluderar alla konstanta funktioner som till exempel A1 = (1,0,0) och A2 = (5,2,3) (hur mycket skulle barr rotera om man släppte ner dem? Inte alls, de skulle bara flyta med i riktningen som ges av vektorn A1 eller A2!). Mindre trivialt är att även ortsvektorn r är virvelfri. Att den är virvelfri i origo är intuitivt, men inte helt intuitivt att den verkligen är det även bortanför origo, säg när man translaterat den längs en vektor a. Att den verklingen är virvelfri även utanför centrum inses nog lättast genom att man begrundar faktumet vektoroperatorn ∇× är linjär, det vill säga för godtyckliga reella konstanter α och β gäller Ett enkelt icke-virvelfritt fält, å andra sidan, och som "virvlar" lika mycket överallt (har konstant norm, oberoende av mätpunkt) ges av Det har styrka k och snurrar med axel i riktningen n = ez (ett badkar ger nog inte en virvel av sådan typ – troligen roterar virveln snabbare närmare utsuget). Eftersom dubbla vinkelhastigheten ger rotationen, får man vinkelhastigheten av detta uttryck: beräkna den formella determinanten ovan Farten ges alltså av halva styrke-konstanten. Som följd av Helmholtz sats är vektorfältet bestämt av dess rotationsdel och dess divergensdel (under någon förutsättning). Vet man båda dessa, löst uttryckt, "generaliserade derivatorna" vet man också funktionen.
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Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
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Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле. З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору. Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.
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在向量分析中，旋度（英語：curl）是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。 旋度的方向是旋转的轴，它由右手定则来确定，而旋度的大小是旋转的量。如果向量场表示一个移动的流形的流速，则旋度是这个流形的环量面密度。旋度为零的向量场叫做无旋向量场。旋度是向量的一种微分形式。微积分基本定理的对应形式是开尔文-斯托克斯定理，它将向量场旋度的曲面积分关联于这个向量场环绕边界曲线的曲线积分。 对于旋度curl F还经常使用可替代的术语回转度（rotation或rotational）和可替代的符号rot F和∇ × F。前者特别用于很多欧洲国家，后者使用del（或称nabla）算子和叉积，更多用于其它国家。 不同于梯度和散度，旋度不能简单的推广到其他维度；某些推广是可能的，但是只有在三维中，在几何上定义的向量场旋度还是向量场。这个现象类似于三维叉积，这个联系反应在旋度的符号∇ ×上。 旋度的名称“curl”最初由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在1871年提出，但这个概念显然最初用于在1839年对光学场理论的构建中。
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