Zero ring

rdf:langString Anneau nul

rdf:langString Pseudo-anneau de carré nul

rdf:langString Un pseudo-anneau de carré nul est un pseudo-anneau sur lequel la multiplication est nulle. Le seul pseudo-anneau de carré nul unitaire est l'anneau nul, l'anneau à un seul élément. Tout groupe abélien peut être muni d'une façon et d'une seule d'une structure de pseudo-anneau de carré nul, la multiplication nulle vérifiant systématiquement les conditions d'associativité et de distributivité requises d'un pseudo-anneau. Ses idéaux en tant que pseudo-anneau sont ses sous-groupes additifs. Il en découle que les seuls pseudo-anneaux A de carré nul sans idéal autres que {0} et A lui-même sont les groupes abéliens sans sous-groupes non triviaux, c'est-à-dire les groupes cycliques de cardinal premier. Cette propriété permet de montrer la caractérisation suivante des idéaux maximaux d'un pseudo-anneau : Un idéal I d'un pseudo-anneau commutatif A est maximal si et seulement si l'anneau quotient de A par I est soit un corps, soit un pseudo-anneau de carré nul sur un groupe additif cyclique de cardinal premier.

rdf:langString En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton . On a : . Cet anneau est commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition. Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A = 0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément de A, on a : . L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau des entiers.