Weak formulation
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Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.
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La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativaen que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil.
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Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.
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数学において弱形式（じゃくけいしき、英: weak formulation）は、線型代数学の概念を、例えば偏微分方程式などの他の分野において問題を解くために用いることを可能にする、重要な解析上の道具である。弱形式において、方程式の絶対性はもはや要求されず（適切である必要すらない）、代わりにあるテストベクトルあるいはテスト函数に関する弱解が存在する。これは超函数の意味で解を要求する問題を構成することと同値である。 ここでは弱形式に関するいくつかの例を紹介し、その解に対する主要な定理であるラックス＝ミルグラムの定理（Lax-Milgram theorem）を述べる。
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Twierdzenie Laxa–Milgrama – twierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i , które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta. Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w , znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. i .
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Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali. Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.
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Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.
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Em matemática, o Teorema de Lax-Milgram é um resultado de análise funcional com aplicação na teoria de equações à derivadas parciais. Esse teorema demonstra sob certas condições a existência e unicidade de uma solução fraca de um problema de valor de contorno. Seu nome é uma homenagem aos matemáticos Peter Lax e Arthur Milgram.
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Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.
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拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和命名。这定理可用來藉求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。
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En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible. L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev.
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Nell'ambito delle equazione differenziali, in particolare delle equazioni alle derivate parziali, è di grande importanza lo studio della formulazione debole dei problemi differenziali classici, che per dualità vengono anche chiamati problemi in forma forte o classica. Risolvere un problema in forma debole significa trovare una soluzione, detta soluzione debole, le cui derivate possono non esistere, ma che è comunque soluzione dell'equazione in qualche modo ben preciso. Molto spesso si tratta delle uniche soluzioni che è possibile trovare.
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Weak formulations are important tools for the analysis of mathematical equations that permit the transfer of concepts of linear algebra to solve problems in other fields such as partial differential equations. In a weak formulation, equations or conditions are no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions". In a strong formulation, the solution space is constructed such that these equations or conditions are already fulfilled.
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Lemma von Lax-Milgram
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Formulación débil de una ecuación diferencial
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Théorème de Lax-Milgram
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Formulation faible
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Lemma di Lax-Milgram
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Formulazione debole
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弱形式
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Twierdzenie Laxa-Milgrama
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Теорема Лакса — Мильграма
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Teorema de Lax–Milgram
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Weak formulation
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Теорема Лакса — Мільграма
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拉克斯－米爾格拉姆定理
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Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.
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La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativaen que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. A continuación se introduce la formulación débil en general, se dan algunos ejemplos y se presenta el principal teorema de la formulación débil: el teorema de Lax-Milgram, que permite asegurar la existencia y unidad de una amplia clase de problemas en forma débil.
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Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.
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En comparaison avec la formulation forte, la formulation faible est une autre manière d'énoncer un problème physique régi par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Une solution forte du problème d’origine est également solution de la formulation faible. Une solution de cette dernière est naturellement appelée solution faible. L’intérêt de cette approche est de pouvoir disposer de concepts et de propriétés de l’analyse fonctionnelle, en particulier ceux des espaces de Hilbert et de Sobolev. Il est possible de prouver que certaines formulations faibles sont bien posées à l'aide du théorème de Lax-Milgram. La méthode des éléments finis est quant à elle une façon d'approcher numériquement des solutions faibles. Une formulation faible des équations aux dérivées partielles qui s’exprime en termes d'algèbre linéaire dans le cadre d’un espace de Hilbert est une formulation variationnelle. À l’aide du théorème de Lax-Milgram, elle permet de discuter de l'existence et de l'unicité de solutions. La méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle pour déterminer des solutions numériques approchées du problème d’origine.
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数学において弱形式（じゃくけいしき、英: weak formulation）は、線型代数学の概念を、例えば偏微分方程式などの他の分野において問題を解くために用いることを可能にする、重要な解析上の道具である。弱形式において、方程式の絶対性はもはや要求されず（適切である必要すらない）、代わりにあるテストベクトルあるいはテスト函数に関する弱解が存在する。これは超函数の意味で解を要求する問題を構成することと同値である。 ここでは弱形式に関するいくつかの例を紹介し、その解に対する主要な定理であるラックス＝ミルグラムの定理（Lax-Milgram theorem）を述べる。
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Weak formulations are important tools for the analysis of mathematical equations that permit the transfer of concepts of linear algebra to solve problems in other fields such as partial differential equations. In a weak formulation, equations or conditions are no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead weak solutions only with respect to certain "test vectors" or "test functions". In a strong formulation, the solution space is constructed such that these equations or conditions are already fulfilled. The Lax–Milgram theorem, named after Peter Lax and Arthur Milgram who proved it in 1954, provides weak formulations for certain systems on Hilbert spaces.
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Nell'ambito delle equazione differenziali, in particolare delle equazioni alle derivate parziali, è di grande importanza lo studio della formulazione debole dei problemi differenziali classici, che per dualità vengono anche chiamati problemi in forma forte o classica. Risolvere un problema in forma debole significa trovare una soluzione, detta soluzione debole, le cui derivate possono non esistere, ma che è comunque soluzione dell'equazione in qualche modo ben preciso. Molto spesso si tratta delle uniche soluzioni che è possibile trovare. Il concetto di soluzione debole è legato a quello di derivata debole: si tratta di definire la nozione di derivata anche per funzioni integrabili ma non necessariamente differenziabili.
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Twierdzenie Laxa–Milgrama – twierdzenie analizy funkcjonalnej dowiedzione w 1954 roku przez Petera Laxa i , które uogólnia twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału określonego na przestrzeni Hilberta. Twierdzenie to, wraz z uogólnieniami zebranymi w , znalazło zastosowanie w teorii równań różniczkowych cząstkowych, gdzie dając warunki „odwracalności” funkcjonału dwuliniowego, umożliwia wykazanie istnienia i jednoznaczności (z różnymi zagadnieniami brzegowymi), zob. i .
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Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali. Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.
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Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.
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Em matemática, o Teorema de Lax-Milgram é um resultado de análise funcional com aplicação na teoria de equações à derivadas parciais. Esse teorema demonstra sob certas condições a existência e unicidade de uma solução fraca de um problema de valor de contorno. Seu nome é uma homenagem aos matemáticos Peter Lax e Arthur Milgram.
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Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.
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拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和命名。这定理可用來藉求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。
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