Torsion subgroup

rdf:langString Podgrupa torsyjna

rdf:langString Podgrupa torsyjna – podgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach). Dowód zamkniętości ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja ). Jeżeli jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy a jej grupa ilorazowa jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny z w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy oznacza się czasem symbolem Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić). Jeżeli jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie na sumę prostą podgrupy torsyjnej i jej części beztorsyjnej musi być równa (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.