Summation of Grandi's series
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The formal manipulations that lead to 1 − 1 + 1 − 1 + · · · being assigned a value of 1⁄2 include:
* Adding or subtracting two series term-by-term,
* Multiplying through by a scalar term-by-term,
* "Shifting" the series with no change in the sum, and
* Increasing the sum by adding a new term to the series' head. These are all legal manipulations for sums of convergent series, but 1 − 1 + 1 − 1 + · · · is not a convergent series.
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As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de 1⁄2 inclui:
* Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
* Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
* "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
* Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série. Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente.
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Summation of Grandi's series
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Soma da série de Grandi
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8909028
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984077896
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The formal manipulations that lead to 1 − 1 + 1 − 1 + · · · being assigned a value of 1⁄2 include:
* Adding or subtracting two series term-by-term,
* Multiplying through by a scalar term-by-term,
* "Shifting" the series with no change in the sum, and
* Increasing the sum by adding a new term to the series' head. These are all legal manipulations for sums of convergent series, but 1 − 1 + 1 − 1 + · · · is not a convergent series. Nonetheless, there are many summation methods that respect these manipulations and that do assign a "sum" to Grandi's series. Two of the simplest methods are Cesàro summation and Abel summation.
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As manipulações formais que conduzem a 1 − 1 + 1 − 1 + · · · sendo atribuído um valor de 1⁄2 inclui:
* Adição ou subtração de duas séries termo-a-termo,
* Multiplicação através de um termo-a-termo escalar,
* "Deslocar" as séries com nenhum mudança na soma, e
* Aumento da soma adicionando um novo termo na cabeça da série. Todas essas são manipulações legais para as somas de séries convergentes, mas 1 − 1 + 1 − 1 + · · · não é uma série convergente. Todavia, há muitos métodos de soma que respeitam essas manipulações e que atribuem uma "suma" à série de Grandi. Dois destes métodos mais simples são: soma de Cesàro e soma de Abel.
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11443