Subring

rdf:langString Подкольцо

rdf:langString Подкольцо кольца — это пара , где — кольцо, а — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий. В классическом определении подкольцо кольца рассматривается как подмножество , замкнутое относительно операций и из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику. В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей : морфизмы (гомоморфизмы) в этой категории должны отображать единицу кольца в единицу кольца (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо кольца также обязано содержать единицу: . Категория устроена гораздо лучше, чем . Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в , если не оговорено обратное. Примеры 1. * Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в . 2. * В идеал является подкольцом только тогда, когда содержит , поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в собственные идеалы не являются подкольцами. 3. * В подкольцами в являются всевозможные главные идеалы . В не имеет собственных подколец. 4. * Кольцо целых чисел является подкольцом поля вещественных чисел и подкольцом кольца многочленов .