Stern prime
http://dbpedia.org/resource/Stern_prime an entity of type: WikicatClassesOfPrimeNumbers
Un nombre premier de Stern (du nom de Moritz Abraham Stern) est un nombre premier qui n'est pas la somme d'un nombre premier et du double d'un carré parfait non nul. Ou pour transcrire cela algébriquement, un nombre premier q est de Stern si pour tout entier naturel b non nul, q – 2b2 est un nombre composé.
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In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl , welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl darstellen lässt. Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl keine kleinere Primzahl und keine ganze Zahl , so dass gilt, dann nennt man Stern-Primzahl. Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl nennt man Stern-Primzahl, wenn keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen .
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Un número primo de Stern, llamado así por Moritz Abraham Stern (1807-1894), es un número primo que no es la suma de un primo más pequeño y el doble del cuadrado de un número entero distinto de cero. Es decir, si para un primo q no hay un primo menor p y un entero distinto de cero b tal que q = p + 2b2, entonces q es un número primo de Stern. Los números primos de Stern conocidos son 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (sucesión A042978 en OEIS).
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A Stern prime, named for Moritz Abraham Stern, is a prime number that is not the sum of a smaller prime and twice the square of a non zero integer. That is, if for a prime q there is no smaller prime p and nonzero integer b such that q = p + 2b2, then q is a Stern prime. The known Stern primes are 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (sequence in the OEIS). There also exist odd composite Stern numbers: the only known ones are 5777 and 5993. Goldbach once incorrectly conjectured that all Stern numbers are prime. (See OEIS: for odd Stern numbers)
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슈테른 소수(Stern prime)는 소수와 제곱수의 두 배의 합으로 나타낼 수 없는 소수이다. 즉, q가 소수라고 할 때, q = p + 2b2를 만족하는 그보다 작은 소수 p와 0이 아닌 자연수 b가 존재하지 않는다면, q는 슈테른 소수이다. 의 이름을 땄다. 지금까지 알려진 슈테른 소수의 목록은 다음과 같다. 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (OEIS의 수열 ). 예를 들어, 137에서 처음 몇 개 제곱수의 두 배를 빼면 {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}를 얻을 수 있으며 그 중 어느 것도 소수가 아니다. 따라서 137은 슈테른 소수이다. 반면에 139는 137 + 2(12) 또는 131 + 2(22)로 표현될 수 있기 때문에 슈테른 소수가 아니다. 149는 131 + 2(32)로 표현될 수 있기 때문에 슈테른 소수가 아니다. 홀수 합성수인 슈테른 수도 있는데, 알려진 것은 5777과 5993뿐이다. (OEIS의 수열 ) 골드바흐는 모든 슈테른 수가 소수일 거라고 잘못 추측한 적이 있다.
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スターン素数（スターンそすう、英: Stern prime）とは、それより小さい素数と0でない平方数の2倍の和で書くことができない素数のことである。つまり、素数 q は、それより小さな素数 p と0でない整数 b を使って q = p + 2b2 と書くことができないときスターン素数である。名称はドイツの数学者（スターン）にちなむ。既知のスターン素数は以下のとおりである。 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A042978） 例えば 137 から平方数の2倍を小さい順に引いていったものを並べると数列 {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9} が得られるが、これらはどれ一つとして素数でない。よって 137 はスターン素数である。一方 139 はスターン素数でない。なぜなら 139 は 137 + 2(12), 131 + 2(22) 等と書けるからである。 奇の合成スターン数も存在する。知られているのは 5777 と 5993 のみである。クリスティアン・ゴールドバッハはかつて「全てのスターン数は素数である」と予想したがこれは誤りであった（A060003 スターン数）。
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數論中，斯特恩質數（英語：Stern prime）是不能寫成質數跟非零平方數兩倍之和的質數。換言之，若為質數，且不存在質數和正整數使，則為斯特恩質數。最小幾個是： 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 （OEIS數列）。 例如：如果嘗試從137中減去前幾個平方數的雙倍，可得到{135,129,119,105,87,65,39,9}，其中沒有一個是素數。這意味著137是斯特恩素數。另一方面，139不是斯特恩素數，因為可以表達為或。149也不是斯特恩素數，因為。 事實上，許多素數都有不止一個這樣的表示。給定孿生質數，該對中較大的素數具有哥德巴赫表示。如果該素數是四胞胎質數中的最大值，則形如p + 8，即可寫成。斯隆的 列出了至少有n個不同的哥德巴赫表示的奇數。萊昂哈德·歐拉觀察到，隨著數字變大，它們有更多形式的表示。所以，沒有此種表示的數，可能有上界；也就是說，斯特恩素數可能衹有有限個，甚至條目起首可能已列齊全部。根據Jud McCranie的說法，這些是前100000個素數中僅有的斯特恩素數。所有已知的斯特恩素數有比哥德巴赫表示更有效的華林表示。 除斯特恩質數外，還有奇斯特恩合數，但目前衹發現有5777和5993。哥德巴赫曾經錯誤地推測所有斯特恩數都是素數。（有關奇斯特恩數，請參閱 ）
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Stern-Primzahl
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Número primo de Stern
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Nombre premier de Stern
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슈테른 소수
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スターン素数
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Stern prime
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斯特恩質數
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3373177
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1113318055
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In der Zahlentheorie ist eine Stern-Primzahl (vom englischen stern prime) eine Primzahl , welche sich nicht als Summe einer kleineren Primzahl und dem Doppelten eines Quadrats einer ganzen Zahl darstellen lässt. Mit anderen Worten: Gibt es für eine Primzahl keine kleinere Primzahl und keine ganze Zahl , so dass gilt, dann nennt man Stern-Primzahl. Etwas umformuliert erhält man: Eine Primzahl nennt man Stern-Primzahl, wenn keine Primzahl ergibt für alle ganzzahligen . Diese Zahlen wurden erstmals am 18. November 1752 von Christian Goldbach in einem Brief an Leonhard Euler erwähnt (er vermutete damals, dass jede ungerade ganze Zahl die Form mit ganzzahligem und primen hat) und etwa ein Jahrhundert später, im Jahr 1856, vom deutschen Mathematiker Moritz Stern genauer untersucht, nach dem diese Zahlen auch benannt wurden.
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Un número primo de Stern, llamado así por Moritz Abraham Stern (1807-1894), es un número primo que no es la suma de un primo más pequeño y el doble del cuadrado de un número entero distinto de cero. Es decir, si para un primo q no hay un primo menor p y un entero distinto de cero b tal que q = p + 2b2, entonces q es un número primo de Stern. Los números primos de Stern conocidos son 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (sucesión A042978 en OEIS). Entonces, por ejemplo, si se intenta restar de 137 los primeros cuadrados duplicados en orden, se obtiene {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}, ninguno de los cuales es primo. Eso significa que 137 es un primo de Stern. Por otro lado, 139 no es un primo de Stern, ya que se puede expresar como 137 + 2(12), o 131 + 2(22), etc. De hecho, muchos números primos tienen más de una representación de este tipo. Dada una pareja de números primos gemelos, el primo mayor del par tiene una representación de Goldbach de p + 2(12). Si ese primo es el mayor de un cuadruplete primo, p + 8, entonces p + 2(22) también es válido. La serie (sucesión A007697 en OEIS) de Sloane enumera números impares con al menos n representaciones de Goldbach. Leonhard Euler observó que a medida que los números crecen, tienen más representaciones de la forma , lo que sugiere que puede haber un número mayor sin tales representaciones; es decir, que la lista anterior de números primos de Stern podría ser no solo finita, sino completa. Según Jud McCranie, estos son los únicos primos de Stern de entre los primeros 100000 primos. Todos los números primos de Stern conocidos tienen representaciones de Waring más eficientes de lo que sugerirían sus representaciones de Goldbach. También existen números de Stern compuestos impares: los únicos conocidos son 5777 y 5993. Goldbach conjeturó incorrectamente que todos los números de Stern son primos (consúltese (sucesión A060003 en OEIS) para los números impares de Stern). Christian Goldbach conjeturó en una carta a Leonhard Euler que todo número impar tiene la forma p + 2b2 para el número entero b y el primo p. Laurent Hodges pensaba que Stern se interesó en el problema después de leer un libro de correspondencia de Goldbach. En ese momento, 1 se consideraba un número primo, por lo que 3 no se consideraba un número primo de Stern, dada la posibilidad de representarlo como 1 + 2(12). El resto de la lista sigue siendo el mismo bajo cualquier definición.
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Un nombre premier de Stern (du nom de Moritz Abraham Stern) est un nombre premier qui n'est pas la somme d'un nombre premier et du double d'un carré parfait non nul. Ou pour transcrire cela algébriquement, un nombre premier q est de Stern si pour tout entier naturel b non nul, q – 2b2 est un nombre composé.
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A Stern prime, named for Moritz Abraham Stern, is a prime number that is not the sum of a smaller prime and twice the square of a non zero integer. That is, if for a prime q there is no smaller prime p and nonzero integer b such that q = p + 2b2, then q is a Stern prime. The known Stern primes are 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (sequence in the OEIS). So, for example, if we try subtracting from 137 the first few squares doubled in order, we get {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}, none of which are prime. That means that 137 is a Stern prime. On the other hand, 139 is not a Stern prime, since we can express it as 137 + 2(12), or 131 + 2(22), etc. In fact, many primes have more than one such representation. Given a twin prime, the larger prime of the pair has a Goldbach representation (namely, a representation as the sum of two primes) of p + 2(12). If that prime is the largest of a prime quadruplet, p + 8, then p + 2(22) is also valid. Sloane's OEIS: lists odd numbers with at least n Goldbach representations. Leonhard Euler observed that as numbers get larger, they have more representations of the form , suggesting that there may be a largest number with no such representations; i.e., the above list of Stern primes might be not only finite, but complete. According to Jud McCranie, these are the only Stern primes from among the first 100000 primes. All the known Stern primes have more efficient Waring representations than their Goldbach representations would suggest. There also exist odd composite Stern numbers: the only known ones are 5777 and 5993. Goldbach once incorrectly conjectured that all Stern numbers are prime. (See OEIS: for odd Stern numbers) Christian Goldbach conjectured in a letter to Leonhard Euler that every odd integer is of the form p + 2b2 for integer b and prime p. Laurent Hodges believes that Stern became interested in the problem after reading a book of Goldbach's correspondence. At the time, 1 was considered a prime, so 3 was not considered a Stern prime given the representation 1 + 2(12). The rest of the list remains the same under either definition.
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슈테른 소수(Stern prime)는 소수와 제곱수의 두 배의 합으로 나타낼 수 없는 소수이다. 즉, q가 소수라고 할 때, q = p + 2b2를 만족하는 그보다 작은 소수 p와 0이 아닌 자연수 b가 존재하지 않는다면, q는 슈테른 소수이다. 의 이름을 땄다. 지금까지 알려진 슈테른 소수의 목록은 다음과 같다. 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 (OEIS의 수열 ). 예를 들어, 137에서 처음 몇 개 제곱수의 두 배를 빼면 {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9}를 얻을 수 있으며 그 중 어느 것도 소수가 아니다. 따라서 137은 슈테른 소수이다. 반면에 139는 137 + 2(12) 또는 131 + 2(22)로 표현될 수 있기 때문에 슈테른 소수가 아니다. 149는 131 + 2(32)로 표현될 수 있기 때문에 슈테른 소수가 아니다. 실제로 많은 소수는 그러한 표현을 둘 이상 가지고 있다. 쌍둥이 소수 중 더 큰 소수는 p + 2(12)라는 골드바흐 표현을 지닌다. 이 소수가 네쌍둥이 소수 중 가장 큰 소수인 p + 8이라면 p + 2(22)이라는 표현도 가능하다. 레온하르트 오일러는 자연수가 클수록 p + 2b2꼴로 나타내는 방법이 더 많아지는 경향이 있음을 관찰하였고, 이렇게 나타낼 수 없는 최대의 자연수가 존재할지도 모른다고 추측했다. 즉, 슈테른 소수는 위의 목록에 있는 것이 전부일 수도 있다. 첫 10만 개의 소수 중 슈테른 소수는 위 여덟 개가 전부이다. 홀수 합성수인 슈테른 수도 있는데, 알려진 것은 5777과 5993뿐이다. (OEIS의 수열 ) 골드바흐는 모든 슈테른 수가 소수일 거라고 잘못 추측한 적이 있다. 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 모든 홀수는 소수 p 와 자연수 b에 대해 p + 2b2 꼴로 나타낼 수 있다고 추측했다. 로런트 호지스에 따르면 모리츠 슈테른은 골드바흐의 서간집을 읽고 이 문제에 관심을 갖게 됐을 것이라고 한다. 당시에 1은 소수로 취급되었으므로 3은 1 + 2(12)꼴로 나타낼 수 있어 슈테른 소수로 취급되지 않았다.
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スターン素数（スターンそすう、英: Stern prime）とは、それより小さい素数と0でない平方数の2倍の和で書くことができない素数のことである。つまり、素数 q は、それより小さな素数 p と0でない整数 b を使って q = p + 2b2 と書くことができないときスターン素数である。名称はドイツの数学者（スターン）にちなむ。既知のスターン素数は以下のとおりである。 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A042978） 例えば 137 から平方数の2倍を小さい順に引いていったものを並べると数列 {135, 129, 119, 105, 87, 65, 39, 9} が得られるが、これらはどれ一つとして素数でない。よって 137 はスターン素数である。一方 139 はスターン素数でない。なぜなら 139 は 137 + 2(12), 131 + 2(22) 等と書けるからである。 実際、多くの素数について2通り以上にこのような表示ができる。双子素数が与えられたとき、大きい方の素数はゴールドバッハの表現（2素数の和） p + 2(12) で表せる。素数が四つ子素数のうち最大のもの、p + 8 であるときも p + 2(22) と表せる。数列 A007697 は、少なくとも n 通りにこのような表示ができる最小の奇数を順に並べたものである。レオンハルト・オイラーは自然数が大きくなるにつれて p + 2b2 と表示する方法の数も増大していくことを観察し、一通りも表示法がないような数には最大値があるのではないかと考えた。つまり、上記のスターン素数列は有限であるばかりでなく全てを尽くしているという主張である。Jud McCranie によれば、これらは最初の 100000 個の素数の中の全てのスターン素数を尽くしている。 奇の合成スターン数も存在する。知られているのは 5777 と 5993 のみである。クリスティアン・ゴールドバッハはかつて「全てのスターン数は素数である」と予想したがこれは誤りであった（A060003 スターン数）。 ゴールドバッハはオイラーへ宛てた手紙の中で、全ての奇数は「素数」 p と整数 b を使って p + 2b2 と書けると予想したことがあった。Laurent Hodgesは、スターンはゴールドバッハの書簡を書籍で読んだことでこの問題に興味を持つようになったと確信している。当時 1 は素数とされていたため、 1 + 2(12) と表示できる 3 はこの意味ではスターン素数ではない。3 を除けば、上述のスターン素数列は 1 を素数に含めてもそのままである。
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數論中，斯特恩質數（英語：Stern prime）是不能寫成質數跟非零平方數兩倍之和的質數。換言之，若為質數，且不存在質數和正整數使，則為斯特恩質數。最小幾個是： 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493 （OEIS數列）。 例如：如果嘗試從137中減去前幾個平方數的雙倍，可得到{135,129,119,105,87,65,39,9}，其中沒有一個是素數。這意味著137是斯特恩素數。另一方面，139不是斯特恩素數，因為可以表達為或。149也不是斯特恩素數，因為。 事實上，許多素數都有不止一個這樣的表示。給定孿生質數，該對中較大的素數具有哥德巴赫表示。如果該素數是四胞胎質數中的最大值，則形如p + 8，即可寫成。斯隆的 列出了至少有n個不同的哥德巴赫表示的奇數。萊昂哈德·歐拉觀察到，隨著數字變大，它們有更多形式的表示。所以，沒有此種表示的數，可能有上界；也就是說，斯特恩素數可能衹有有限個，甚至條目起首可能已列齊全部。根據Jud McCranie的說法，這些是前100000個素數中僅有的斯特恩素數。所有已知的斯特恩素數有比哥德巴赫表示更有效的華林表示。 除斯特恩質數外，還有奇斯特恩合數，但目前衹發現有5777和5993。哥德巴赫曾經錯誤地推測所有斯特恩數都是素數。（有關奇斯特恩數，請參閱 ） 哥德巴赫在給萊昂哈德·歐拉的一封信中推測，每個奇數都可以寫成，其中為整數，為質數。認為斯特恩在閱讀了哥德巴赫的書信之後對這個問題產生了興趣。當時，1被認為是素數，因此3可以寫成，不視為斯特恩質數。根據任一定義，列表的其餘部分保持不變。
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