Sieve theory
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نظرية الغرابيل (بالإنجليزية: Sieve theory) هي مجموعة من التقنيات المستعملة في نظرية الأعداد، ومصممة لعد (أو لتقدير بشكل واقعي) لمجموعات المغربلة من الأعداد الصحيحة. انظر على سبيل المثال إلى غربال إراتوستينس وإلى .
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La teoria dei crivelli è un insieme di tecniche della teoria dei numeri ideate per contare, o più realisticamente per valutare nell'ordine di grandezza, la cardinalità di alcuni insiemi di interi. L'idea su cui si basano questi metodi è la seguente: se si vuole conoscere la cardinalità di un insieme S di interi minori di un certo X che godono di una qualche proprietà, si parte da un insieme che contiene S, tipicamente l'insieme dei numeri interi fino ad X, e quindi si eliminano in una serie di passi la gran parte degli interi che non fanno parte di S. Infine si aggiungono gli interi che sono stati "eliminati per sbaglio" e si ottiene dunque una stima per S.
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해석적 수론에서, 체(sieve)는 특정한 조건을 만족시키는 정수의 집합이다. 잘 알려진 예로는 소수를 정수의 집합에서 추출하는 에라토스테네스의 체가 있다. 실제로, 이러한 체에 의해 생성 된 수가 소수의 속성을 공유하고 있는 것을 확인할 수 있다.
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筛法是数论中的一类基本方法，其研究对象是筛函数，也就是某个被“筛选”过的有限整数子集的元素个数。 埃拉托斯特尼筛法是一种古典筛法，但由于没有理论价值，在很长时期内都没有发展。 20世纪以来，筛法得到了改进。常见的筛法有、、和等等。
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Die Siebtheorie bezeichnet eine Reihe von Techniken aus der analytischen Zahlentheorie. Die Grundidee ist, mittels eines mathematischen Siebes eine Grundmenge zu filtern, so dass am Ende eine gewünschte gesiebte Menge übrig bleibt, die nicht durch das Sieb gefallen ist. Dies können zum Beispiel Primzahlen, Primzahlzwillinge oder Fastprimzahlen sein. Der Archetyp eines Siebes ist das Sieb des Eratosthenes zum Ermitteln der Primzahlen. In erster Linie ist man an der Kardinalität der gesiebten Menge interessiert.
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La teoría de cribas es un conjunto de técnicas generales en teoría de números, diseñadas para contar o estimar el tamaño de un conjunto de números enteros. El ejemplo primordial de un conjunto tamizado es conjunto de números primos menores iguales a x. Correspodientemente, el ejemplo primordial es la criba de Eratóstenes, o más general, la criba de Legendre. El ataque directo sobre los números primos usando estos métodos muestra obstáculos aparentemente insuperables, en el camino de la acumulación de términos de errores.
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En mathématiques, la théorie des cribles est une partie de la théorie des nombres ayant pour but d'estimer, à défaut de dénombrer, les cardinaux de sous-ensembles (éventuellement infinis) de ℕ en approchant la fonction indicatrice du sous-ensemble considéré. Cette technique a pour origine le crible d'Ératosthène, et dans ce cas, le but était d'étudier l'ensemble des nombres premiers. Actuellement, les cribles sont considérés comme une branche très prometteuse de la théorie des nombres.
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Sieve theory is a set of general techniques in number theory, designed to count, or more realistically to estimate the size of, sifted sets of integers. The prototypical example of a sifted set is the set of prime numbers up to some prescribed limit X. Correspondingly, the prototypical example of a sieve is the sieve of Eratosthenes, or the more general Legendre sieve. The direct attack on prime numbers using these methods soon reaches apparently insuperable obstacles, in the way of the accumulation of error terms. In one of the major strands of number theory in the twentieth century, ways were found of avoiding some of the difficulties of a frontal attack with a naive idea of what sieving should be.
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In de getaltheorie, een deelverzameling van de wiskunde, bestaat de zeeftheorie uit een aantal algemene technieken, die bedoeld zijn om de grootte van gezeefde verzamelingen van gehele getallen te tellen of meer realistisch te schatten. Het standaardvoorbeeld van een gezeefde verzameling is de verzameling van priemgetallen "up to" enige voorgeschreven limiet X. Dienovereenkomstig is het standaardvoorbeeld van een zeef de zeef van Eratosthenes, of de meer generieke zeef van Legendre. De directe aanval op priemgetallen door het gebruik van deze methoden liep al snel tegen schijnbaar onoverkomelijke obstakels aan, dit in de vorm van de opeenstapeling van fouttermen. In een van de belangrijkste bijdragen aan de getaltheorie in de twintigste eeuw, slaagde men er echter in om manieren te vinden
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篩法（ふるいほう）、または単に篩（ふるい）とは、数論でよく使う技法の総称である。 整数をふるった集合 (sifted set) の元の個数を数えたり、その大きさを評価したりする。篩の操作によって得られる集合の例として、ある数を超えない素数の集合が挙げられる。つまりいにしえのエラトステネスの篩、あるいは一般にルジャンドルの篩と呼ばれるものである。しかしこれらの篩を直接用いた素数分布の定量的研究は、誤差項の累積というどうしようもない困難に直面した。20世紀に入り、双子素数予想やゴールドバッハ予想などの研究の中でこれらの困境を克服する方法が見いだされ、現在ではブルンの篩をはじめ、セルバーグの篩、大きな篩といったものが編み出されている。 これらの原始的なエラトステネスの篩の発展形においては、ふるわれた（評価されるべき）集合を、他の解析しやすいより単純な集合によって近似することや、sieving function などとよばれる関数の巧みな構成、等の改良が含まれる。 篩法の現代的理論の当初より目的とされた問題の多くが未解決として残されている中、特に数論の他の方法との併用によって部分的な結果が多く得られている。その一部は以下のものである
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Teoria dos crivos são conjuntos de técnicas gerais dentro da teoria dos números, criadas para contar ou estimar o tamanho de um conjunto de números inteiros. O exemplo primordial de um conjunto crivado (ou peneirado, pois crivo significa peneira) é o do conjunto dos números primos menores ou iguais a x. Ainda neste exemplo primordial o método mais difundido é o do crivo de Eratóstenes, ou de um modo mais geral, o crivo de Legendre. Um ataque direto sobre o conjunto dos números primos usando estes métodos mostra obstáculos aparentemente insuperáveis, em acumulação de términos de erros durante o percurso.
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Sieve theory
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نظرية الغرابيل
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Siebtheorie
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Teoría de cribas
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Théorie des cribles
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Teoria dei crivelli
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篩法
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체 (수론)
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Zeeftheorie
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Teoria dos crivos
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筛法
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B.M.
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Bredikhin
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Sieve method
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Die Siebtheorie bezeichnet eine Reihe von Techniken aus der analytischen Zahlentheorie. Die Grundidee ist, mittels eines mathematischen Siebes eine Grundmenge zu filtern, so dass am Ende eine gewünschte gesiebte Menge übrig bleibt, die nicht durch das Sieb gefallen ist. Dies können zum Beispiel Primzahlen, Primzahlzwillinge oder Fastprimzahlen sein. Der Archetyp eines Siebes ist das Sieb des Eratosthenes zum Ermitteln der Primzahlen. In erster Linie ist man an der Kardinalität der gesiebten Menge interessiert. Die Siebtheorie hat sich zu einem mächtigen Instrument der analytischen Zahlentheorie entwickelt, die viele bedeutende mathematische Aussagen ermöglicht hat, wie z. B. den Satz von Chen und Yitang Zhangs Resultat über die Anzahl Primzahlpaare. Sie lässt sich aber auch auf andere mathematische Gebiete übertragen. Siebmethoden haben aber auch Grenzen: so verhindert das sogenannte Partiätsproblem das Finden von nicht-trivialen unteren Schranken für die Primzahlzählfunktion. Klassische Siebmethoden können nicht zwischen Zahlen mit einer geraden und solchen mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren unterscheiden; diese Eigenschaft nennt man das Partiätsproblem.
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نظرية الغرابيل (بالإنجليزية: Sieve theory) هي مجموعة من التقنيات المستعملة في نظرية الأعداد، ومصممة لعد (أو لتقدير بشكل واقعي) لمجموعات المغربلة من الأعداد الصحيحة. انظر على سبيل المثال إلى غربال إراتوستينس وإلى .
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La teoría de cribas es un conjunto de técnicas generales en teoría de números, diseñadas para contar o estimar el tamaño de un conjunto de números enteros. El ejemplo primordial de un conjunto tamizado es conjunto de números primos menores iguales a x. Correspodientemente, el ejemplo primordial es la criba de Eratóstenes, o más general, la criba de Legendre. El ataque directo sobre los números primos usando estos métodos muestra obstáculos aparentemente insuperables, en el camino de la acumulación de términos de errores. Un resultado exitoso es la aproximación de un conjunto tamizado en específico (por ejemplo, el conjunto de números primos) por otro conjunto simple (por ejemplo, el conjunto de los números casi primos), que suele ser un poco más grande que el conjunto original y más fácil de analizar. Cribas más sofisticadas no trabajan directamente con el conjunto en si, sino que cuentan de acuerdo con funciones de peso cuidadosamente elegidas en el conjunto.
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En mathématiques, la théorie des cribles est une partie de la théorie des nombres ayant pour but d'estimer, à défaut de dénombrer, les cardinaux de sous-ensembles (éventuellement infinis) de ℕ en approchant la fonction indicatrice du sous-ensemble considéré. Cette technique a pour origine le crible d'Ératosthène, et dans ce cas, le but était d'étudier l'ensemble des nombres premiers. Un des nombreux résultats que l'on doit aux cribles a été découvert par Viggo Brun en 1919. Il a permis de montrer que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux est finie, résultat inattendu qui laisse ouverte la possibilité d'un nombre fini de nombres premiers jumeaux. Actuellement, les cribles sont considérés comme une branche très prometteuse de la théorie des nombres.
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Sieve theory is a set of general techniques in number theory, designed to count, or more realistically to estimate the size of, sifted sets of integers. The prototypical example of a sifted set is the set of prime numbers up to some prescribed limit X. Correspondingly, the prototypical example of a sieve is the sieve of Eratosthenes, or the more general Legendre sieve. The direct attack on prime numbers using these methods soon reaches apparently insuperable obstacles, in the way of the accumulation of error terms. In one of the major strands of number theory in the twentieth century, ways were found of avoiding some of the difficulties of a frontal attack with a naive idea of what sieving should be. One successful approach is to approximate a specific sifted set of numbers (e.g. the set ofprime numbers) by another, simpler set (e.g. the set of almost prime numbers), which is typically somewhat larger than the original set, and easier to analyze. More sophisticated sieves also do not work directly with sets per se, but instead count them according to carefully chosen weight functions on these sets (options for giving some elements of these sets more "weight" than others). Furthermore, in some modern applications, sieves are used not to estimate the size of a siftedset, but to produce a function that is large on the set and mostly small outside it, while being easier to analyze thanthe characteristic function of the set.
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La teoria dei crivelli è un insieme di tecniche della teoria dei numeri ideate per contare, o più realisticamente per valutare nell'ordine di grandezza, la cardinalità di alcuni insiemi di interi. L'idea su cui si basano questi metodi è la seguente: se si vuole conoscere la cardinalità di un insieme S di interi minori di un certo X che godono di una qualche proprietà, si parte da un insieme che contiene S, tipicamente l'insieme dei numeri interi fino ad X, e quindi si eliminano in una serie di passi la gran parte degli interi che non fanno parte di S. Infine si aggiungono gli interi che sono stati "eliminati per sbaglio" e si ottiene dunque una stima per S.
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해석적 수론에서, 체(sieve)는 특정한 조건을 만족시키는 정수의 집합이다. 잘 알려진 예로는 소수를 정수의 집합에서 추출하는 에라토스테네스의 체가 있다. 실제로, 이러한 체에 의해 생성 된 수가 소수의 속성을 공유하고 있는 것을 확인할 수 있다.
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In de getaltheorie, een deelverzameling van de wiskunde, bestaat de zeeftheorie uit een aantal algemene technieken, die bedoeld zijn om de grootte van gezeefde verzamelingen van gehele getallen te tellen of meer realistisch te schatten. Het standaardvoorbeeld van een gezeefde verzameling is de verzameling van priemgetallen "up to" enige voorgeschreven limiet X. Dienovereenkomstig is het standaardvoorbeeld van een zeef de zeef van Eratosthenes, of de meer generieke zeef van Legendre. De directe aanval op priemgetallen door het gebruik van deze methoden liep al snel tegen schijnbaar onoverkomelijke obstakels aan, dit in de vorm van de opeenstapeling van fouttermen. In een van de belangrijkste bijdragen aan de getaltheorie in de twintigste eeuw, slaagde men er echter in om manieren te vinden die een aantal van deze schijnbaar onoverkomelijke problemen te omzeilen. Een succesvolle aanpak is om een specifieke gezeefde verzameling van getallen te benaderen (bijvoorbeeld de verzameling van priemgetallen) door een andere, eenvoudigere verzameling (bijvoorbeeld de verzameling van ), die doorgaans iets groter is dan de originele verzameling, maar wel gemakkelijker te analyseren. Meer geavanceerde zeven werken niet direct met verzamelingen per se, maar tellen zij in plaats daarvan op basis van zorgvuldig gekozen op deze verzamelingen (opties om bepaalde elementen in deze verzamelingen meer "gewicht" dan anderen te geven). In sommige moderne toepassingen worden zeven niet gebruikt om de grootte van een gezeefde verzameling te schatten, maar om een functie te produceren die groot op de verzameling is en meestal klein daarbuiten, omdat zij gemakkelijker te analyseren dan de karakteristieke functie van deze verzameling.
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篩法（ふるいほう）、または単に篩（ふるい）とは、数論でよく使う技法の総称である。 整数をふるった集合 (sifted set) の元の個数を数えたり、その大きさを評価したりする。篩の操作によって得られる集合の例として、ある数を超えない素数の集合が挙げられる。つまりいにしえのエラトステネスの篩、あるいは一般にルジャンドルの篩と呼ばれるものである。しかしこれらの篩を直接用いた素数分布の定量的研究は、誤差項の累積というどうしようもない困難に直面した。20世紀に入り、双子素数予想やゴールドバッハ予想などの研究の中でこれらの困境を克服する方法が見いだされ、現在ではブルンの篩をはじめ、セルバーグの篩、大きな篩といったものが編み出されている。 これらの原始的なエラトステネスの篩の発展形においては、ふるわれた（評価されるべき）集合を、他の解析しやすいより単純な集合によって近似することや、sieving function などとよばれる関数の巧みな構成、等の改良が含まれる。 篩法の現代的理論の当初より目的とされた問題の多くが未解決として残されている中、特に数論の他の方法との併用によって部分的な結果が多く得られている。その一部は以下のものである 1.
* ブルンの定理；双子素数の逆数の和が収束することを述べた定理（他方素数の逆数の和は発散する） 2.
* 陳の定理；素数 p で p+2 が素数か、あるいは二つの素数の積となるものが無限に存在することを述べた定理；この陳景潤による密接に関係した今一つの定理に、十分大きな偶数は、素数と、高々素因数が二つの数との和として表される、というものがある。これらは現在、双子素数予想及びゴールドバッハ予想に最も肉薄した結果である。 3.
* The ；（大雑把に言えば）N 個の数の集合をふるう時、 を十分小として、 の反復により篩に残った元を正確に評価できることを述べたもの。この補題は素数をふるい出す際に必要な の反復と比べても、かなり劣ってはいるが、それでも概素数に関する結果を導くには十分用いることができる。 4.
* The Friedlander–Iwaniec theorem; の形に表せる素数が無限に存在することを述べた定理。 上のような問題において、篩法はほとんど唯一の攻略法として非常に強力なものとなっているが、parity problem として知られている障害により本質的に有効範囲が制限されていると考えられている。これは篩が、ある数の、素因数を偶数個持つか奇数個持つかを判別するのに重大な困難があるという内容であるが、いまだ解明されてはいない。 篩法は比較的初等的であり、代数的や解析的整数論のような難しい概念がない。篩法はその発展に伴いさらに複雑かつ微妙になり（特に、他理論の方法と組み合わされた場合）、専門書も出版されている。古典的な文献は Halberstam と Richert (1974) によるもの。 上記の篩法は、素因数分解における(quadratic sieve)や一般数体篩法といった篩法とはあまり関係がない。これらの方法はエラトステネスの篩のアイデアは用いているが、効率的に素因数分解を行うことを目的としている。
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Teoria dos crivos são conjuntos de técnicas gerais dentro da teoria dos números, criadas para contar ou estimar o tamanho de um conjunto de números inteiros. O exemplo primordial de um conjunto crivado (ou peneirado, pois crivo significa peneira) é o do conjunto dos números primos menores ou iguais a x. Ainda neste exemplo primordial o método mais difundido é o do crivo de Eratóstenes, ou de um modo mais geral, o crivo de Legendre. Um ataque direto sobre o conjunto dos números primos usando estes métodos mostra obstáculos aparentemente insuperáveis, em acumulação de términos de erros durante o percurso. Um resultado exitoso é a aproximação de um conjunto peneirado em específico (por exemplo, o conjunto de números primos) por outro conjunto simples (por exemplo, o conjunto dos números quasi-primos), que geralmente é um tanto maior que o conjunto original e mais fácil de analisar. Crivos mais sofisticados não trabalham diretamente com o conjunto em si, sendo que são contados de acordo com funções de peso cuidadosamente escolhidas para o conjunto.
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筛法是数论中的一类基本方法，其研究对象是筛函数，也就是某个被“筛选”过的有限整数子集的元素个数。 埃拉托斯特尼筛法是一种古典筛法，但由于没有理论价值，在很长时期内都没有发展。 20世纪以来，筛法得到了改进。常见的筛法有、、和等等。
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