Semimodular lattice

rdf:langString Semimodularer Verband

rdf:langString In der Ordnungstheorie versteht man unter einem semimodularen Verband einen Verband, der die folgende Bedingung erfüllt: Semimodulares Gesetz impliziert . Die Notation bedeutet, dass das Element das Element bedeckt, d. h. und für alle Elemente mit gilt oder . Ein (und daher algebraischer) semimodularer beschränkter Verband heißt Matroidverband, weil solche Verbände zu (einfachen) Matroiden äquivalent sind. Ein atomistischer semimodularer beschränkter Verband von endlicher Länge heißt geometrischer Verband und entspricht einem Matroid von endlichem Rang. (Diese Definitionen folgen Stern (1999). Einige Autoren benutzen den Ausdruck "geometrischer Verband" für die allgemeineren Matroidverbände. Aber die meisten Autoren betrachten nur den endlichen Fall, in welchem beide Definitionen zu "semimodular und atomistisch" äquivalent sind.) Ein endlicher Verband ist genau dann modular, wenn sowohl er selbst als auch der duale Verband semimodular ist. (Semimodulare Verbände werden im Englischen auch als upper semimodular bezeichnet; der duale Begriff heißt dann lower semimodular.) Ein endlicher Verband, oder allgemeiner ein Verband der die aufsteigende Kettenbedingung oder die absteigende Kettenbedingung erfüllt, ist genau dann semimodular, wenn er M-symmetrisch ist. Einige Autoren bezeichnen M-symmetrische Verbände als semimodulare Verbände. (Z.B. Fofanova (2001).) In jedem (nach oben oder nach unten) semimodularen Verband gilt der dedekindsche Kettensatz.