Screened Poisson equation

rdf:langString Экранированное уравнение Пуассона

rdf:langString В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида: где — оператор Лапласа, — константа, — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и в . Когда равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией функций, статистически взвешенной функцией источника : С другой стороны, когда очень велика, приближается к значению , которое в свою очередь приближается к нулю, когда уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) функций, причём будет являться силой экранирования. Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего с использованием функции Грина. Функция Грина определяется как Допустив, что и её производные пренебрежимо малы на больших , мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах: где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что Следовательно, функция Грина на даётся обратным преобразованием Фурье: Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в -пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате : Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем: Итоговое решение всей задачи: Как было указано выше, это суперпозиция экранированных функций, статистически взвешенных функцией источника , причём является коэффициентом экранирования. Экранированная функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».