Residue (complex analysis)

rdf:langString Residuum funkcji holomorficznej

rdf:langString Residuum (z łac. „reszta”, od neutr. residuus – pozostałość, od residēre – pozostawać) funkcji w punkcie – pierwszy współczynnik części osobliwej rozwinięcia w szereg Laurenta danej funkcji holomorficznej w pewnym pierścieniu otaczającym punkt Innymi słowy, jeśli jest funkcją holomorficzną w pewnym pierścieniu otaczającym to jej residuum w punkcie nazywa się współczynnik w jej rozwinięciu w szereg Laurenta w punkcie Równoważna definicja: residuum w punkcie funkcji holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu nazywamy wartość: gdzie jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt Zachodzi też wzór gdzie to rząd bieguna w punkcie Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach. Rozważmy przykład całki po konturze: gdzie jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0. Obliczmy tę całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy: Dołączmy składnik do szeregu, otrzymamy: Nasza całka otrzyma przyjemniejszą formę. Zauważmy, że: gdy Teraz całka wokół dla każdego składnika ze współczynnikiem innym od staje się 0, i całość redukuje się do: I w efekcie za pomocą wzoru całkowego Cauchy’ego otrzymujemy równość: Wartość jest znana jako residuum z w a jego notacja to