Regular polytope
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正多胞体 (せいたほうたい、regular polytope) とは、正多角形、正多面体などを一般次元へ拡張した、対称性の高い多胞体である。 ある正多胞体の各低次元の要素は合同であり、またそれ自体も正多胞体である。たとえば、ある正多面体の面は合同な正多角形である。ただし、デルタ多面体でわかるように、これは必要十分条件ではない。 正多胞体の必要十分な定義はさまざまだが、よく使われるのは「ファセット（facet、n - 1 次元面）が合同であり、が合同である」というものである。
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정폴리토프(Regular polytope)는 각 면이 정칙 폴리토프여서 최대의 대칭을 가진 폴리토프다. 단체, 초입방체, 정축체만이 모든 차원에서 존재한다.(단체는 정사면체의 확장, 초입방체는 정육면체의 확장, 정축체는 정팔면체의 확장이다.)
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In geometria, un politopo di dimensione d si dice politopo regolare quando sono regolari (ordinari o stellati) tutti gli elementi che lo compongono, aventi dimensioni inferiori a d.
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Правильний n-вимірний многогранник — многогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі.Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.
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Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
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在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（英語：Regular polytope）。 和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、（Semiregular）、圖形（Demiregular）、（Uniform）等幾何結構。
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Στα μαθηματικά, το κανονικό πολύτοπο είναι ένα πολύτοπο του οποίου η συμμετρία είναι μεταβατική στην ακολουθία των επιφανειών του, δίνοντας έτσι τον υψηλότερο βαθμό συμμετρίας. Όλα τα στοιχεία του (κελιά, επιφάνειες και ούτω καθεξής) ή μ-επιφάνειες (για κάθε 0 ≤ μ ≤ ν, όπου ν είναι η διάσταση του πολυτόπου) είναι επίσης μεταβατικά στις συμμετρίες του πολυτόπου, και κανονικά πολύτοπα των διαστάσεων ≤ ν.
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En matematiko, regula hiperpluredro estas hiperpluredro kun alta grado de simetrio. Ĝi estas pli alta-dimensia analoga de regulaj plurlateroj (ekzemple, la kvadrato aŭ la regula kvinlatero) kaj regulaj pluredroj (ekzemple, la kubo). Cirkloj kaj sferoj, kvankam alte simetriaj, ne estas konsiderataj kiel hiperpluredroj ĉar ili ne havas ebenajn edroj. Regula hiperpluredro havas jenajn propraĵojn:
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En matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría. Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones incluyen los sólidos platónicos (poliedros regulares). Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas. La fuerte simetría de los politopos regulares les otorga una cualidad estética que interesa a los matemáticos.
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En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens. On pourrait également citer des exemples pour des espaces de dimension plus élevée. Le cercle et la sphère, qui présentent un degré de symétrie très élevé, n'en sont pas pour autant considérés comme des polytopes, car ils n'ont pas de face plate.La très forte propriété de symétrie des polytopes réguliers leur confère une valeur esthétique qui fascine tant les mathématic
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In mathematics, a regular polytope is a polytope whose symmetry group acts transitively on its flags, thus giving it the highest degree of symmetry. All its elements or j-faces (for all 0 ≤ j ≤ n, where n is the dimension of the polytope) — cells, faces and so on — are also transitive on the symmetries of the polytope, and are regular polytopes of dimension ≤ n. A regular polytope can be represented by a Schläfli symbol of the form {a, b, c, ..., y, z}, with regular facets as {a, b, c, ..., y}, and regular vertex figures as {b, c, ..., y, z}.
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In de wiskunde is een regelmatige polytoop een polytoop, waarvan de symmetrie transitief is over haar , zodat een polytoop de hoogste graad van symmetrie heeft. Alle elementen ervan of -zijden (voor alle , waarin de dimensie van de polytoop is) – , zijden, enzovoort – zijn ook transitief op de symmetrieën van de polytoop, en zijn regelmatige polytopen van dimensie ten hoogste . De twee- en de driedimensionale regelmatige polytopen zijn de regelmatige veelhoeken en regelmatige veelvlakken.
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Κανονικό πολύτοπο
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Regula hiperpluredro
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Politopo regular
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Polytope régulier
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Politopo regolare
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정다포체
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正多胞体
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Regular polytope
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Regelmatige polytoop
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Правильные многомерные многогранники
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正圖形
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Правильні багатовимірні многогранники
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Στα μαθηματικά, το κανονικό πολύτοπο είναι ένα πολύτοπο του οποίου η συμμετρία είναι μεταβατική στην ακολουθία των επιφανειών του, δίνοντας έτσι τον υψηλότερο βαθμό συμμετρίας. Όλα τα στοιχεία του (κελιά, επιφάνειες και ούτω καθεξής) ή μ-επιφάνειες (για κάθε 0 ≤ μ ≤ ν, όπου ν είναι η διάσταση του πολυτόπου) είναι επίσης μεταβατικά στις συμμετρίες του πολυτόπου, και κανονικά πολύτοπα των διαστάσεων ≤ ν. Τα κανονικά πολύτοπα είναι η γενικευμένη αναλογική σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων των κανονικών πολυγώνων (για παράδειγμα, το τετράγωνο, ή το κανονικό πεντάγωνο) και των κανονικών πολυέδρων (για παράδειγμα, ο κύβος). Η ισχυρή συμμετρία των κανονικών πολυτόπων τους δίνει μια αισθητική ποιότητα που ενδιαφέρει τόσο τους μη μαθηματικούς όσο και τους μαθηματικούς. Κατ' εξοχήν, ένα κανονικό πολύτοπο σε ν διαστάσεις μπορεί να οριστεί ως το πολύτοπο που έχει κανονικές έδρες [(ν − 1)-επιφάνειες] και κανονικό σχήμα κορυφών. Οι δύο αυτές προϋποθέσεις είναι επαρκείς για να εξασφαλιστεί ότι όλες οι επιφάνειές του είναι ίδιες και όλες οι κορυφές του είναι ομοειδείς. Ο ορισμός αυτός δεν ισχύει για τα . Ένα κανονικό πολύτοπο μπορεί να εκπροσωπείται από ένα σύμβολο Schläfli της μορφής {a, b, c, ..., y, z}, με κανονικές έδρες όπως {a, b, c, ..., y}, και κανονικό σχήμα κορυφών όπως {b, c, ..., y, z}.
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En matematiko, regula hiperpluredro estas hiperpluredro kun alta grado de simetrio. Ĝi estas pli alta-dimensia analoga de regulaj plurlateroj (ekzemple, la kvadrato aŭ la regula kvinlatero) kaj regulaj pluredroj (ekzemple, la kubo). Cirkloj kaj sferoj, kvankam alte simetriaj, ne estas konsiderataj kiel hiperpluredroj ĉar ili ne havas ebenajn edroj. Regula hiperpluredro havas jenajn propraĵojn:
* Ĝi estas simetria tiel ke ĝiaj hiperĉeloj de ĉiu dimensio de 0 ĝis n-1 estas egalaj, kaj se koincidigi la hiperĉelon ankaŭ la tuta hiperpluredro povas esti koincidigita. Do, ĝi estas
* vertico-transitiva,
* latero-transitiva,
* edro-transitiva,
* ĉelo-transitiva,
* 4-hiperĉelo-transitiva,
* 5-hiperĉelo-transitiva,
* ... ,
* kulmino-transitiva,
* kresto-transitiva,
* faceto-transitiva.
* Ĝiaj hiperĉeloj de ĉiu dimensio de 2 ĝis n-1 estas mem regulaj hiperpluredroj (0-dimensiaj kaj 1-dimensiaj hiperpluredroj ĉiam estas regulaj). Do, ĝiaj
* edroj estas regulaj plurlateroj,
* ĉeloj estas regulaj pluredroj,
* 4-hiperĉeloj estas ,
* 5-hiperĉeloj estas regulaj 5-hiperpluredroj,
* ... ,
* kulminoj estas regulaj n-3-hiperpluredroj,
* krestoj estas regulaj n-2-hiperpluredroj,
* facetoj estas regulaj n-1-hiperpluredroj.
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En matemáticas, un politopo regular es una figura geométrica con un alto grado de simetría. Ejemplo de politopos regulares en dos dimensiones son el cuadrado, el pentágono y el hexágono regular. En tres dimensiones incluyen los sólidos platónicos (poliedros regulares). Existen ejemplos también en dimensiones superiores. Los círculos y las esferas, aunque altamente simétricos, no son considerados politopos porque no tienen caras planas. La fuerte simetría de los politopos regulares les otorga una cualidad estética que interesa a los matemáticos. Muchos politopos regulares existen en la naturaleza y han sido conocidos desde la prehistoria. El más antiguo tratamiento matemático de esos objetos viene de los antiguos matemáticos griegos tales como Euclides. Verdaderamente, Euclides escribió un estudio sistemático de las matemáticas, publicándolo con el nombre de Elementos de Euclides, en el cual construyó una teoría lógica de la geometría y de la teoría de los números. Su trabajo concluyó con descripciones matemáticas de los cinco sólidos Platónicos. La definición de los politopos regulares permaneció estática por muchos siglos después de Euclides. La historia del estudio de los politopos regulares ha sido una donde la definición fue ampliada, permitiendo más y más diferentes objetos a ser considerados entre su conjunto. Los cinco sólidos Platónicos fueron unidos, hacia la mitad del segundo milenio, por los poliedros de Kepler-Poinsot. Al final del siglo XIX los matemáticos habían empezado a considerar politopos regulares en cuatro y más dimensiones, tal como el teseracto o hipercubo y el 24cell. El último es difícil de visualizar, pero aún retiene el placer estético simétrico de sus primos de menores dimensiones. Más difíciles aún de imaginar son los más modernos politopos regulares abstractos tal como el o el . Los matemáticos que estudian tales objetos insisten, sin embargo, que las cualidades estéticas de esos objetos permanecen.
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In mathematics, a regular polytope is a polytope whose symmetry group acts transitively on its flags, thus giving it the highest degree of symmetry. All its elements or j-faces (for all 0 ≤ j ≤ n, where n is the dimension of the polytope) — cells, faces and so on — are also transitive on the symmetries of the polytope, and are regular polytopes of dimension ≤ n. Regular polytopes are the generalized analog in any number of dimensions of regular polygons (for example, the square or the regular pentagon) and regular polyhedra (for example, the cube). The strong symmetry of the regular polytopes gives them an aesthetic quality that interests both non-mathematicians and mathematicians. Classically, a regular polytope in n dimensions may be defined as having regular facets ([n–1]-faces) and regular vertex figures. These two conditions are sufficient to ensure that all faces are alike and all vertices are alike. Note, however, that this definition does not work for abstract polytopes. A regular polytope can be represented by a Schläfli symbol of the form {a, b, c, ..., y, z}, with regular facets as {a, b, c, ..., y}, and regular vertex figures as {b, c, ..., y, z}.
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En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens. On pourrait également citer des exemples pour des espaces de dimension plus élevée. Le cercle et la sphère, qui présentent un degré de symétrie très élevé, n'en sont pas pour autant considérés comme des polytopes, car ils n'ont pas de face plate.La très forte propriété de symétrie des polytopes réguliers leur confère une valeur esthétique qui fascine tant les mathématiciens que les non mathématiciens. Plusieurs des polytopes réguliers de dimension deux et trois se rencontrent dans la nature et sont connus depuis la Préhistoire. C'est aux mathématiciens grecs de l'Antiquité, notamment Euclide, qu'on en doit le plus ancien traitement mathématique connu. En effet, Euclide rédigea une somme sur les connaissances mathématiques de son temps, qu'il publia sous le titre des Éléments. Ce travail présente une construction d'une géométrie cohérente et d'une théorie des nombres, et se conclut par la description mathématique des cinq solides platoniciens. De nombreux siècles après Euclide, la définition des polytopes réguliers était demeurée inchangée.Pourtant, cette définition sera ensuite progressivement élargie, par à-coups, de façon à englober de plus en plus d'objets nouveaux. Au milieu du deuxième millénaire, les cinq solides platoniciens originaux furent rejoints par les polyèdres de Kepler-Poinsot. À la fin du XIXe siècle, les mathématiciens commencèrent à prendre en compte des polytopes réguliers en dimension quatre et plus, ainsi l'hypercube et le polytope à 24 cellules. Ces derniers ne sont pas faciles à visualiser, mais partagent avec leurs cousins de petite dimension les mêmes propriétés de symétrie. Plus durs à concevoir encore sont les polytopes réguliers abstraits, tels le polytope à (en) ou celui à (en) . Les mathématiciens qui s'intéressent à ces objets persistent cependant à y retrouver les mêmes qualités esthétiques.
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In de wiskunde is een regelmatige polytoop een polytoop, waarvan de symmetrie transitief is over haar , zodat een polytoop de hoogste graad van symmetrie heeft. Alle elementen ervan of -zijden (voor alle , waarin de dimensie van de polytoop is) – , zijden, enzovoort – zijn ook transitief op de symmetrieën van de polytoop, en zijn regelmatige polytopen van dimensie ten hoogste . De twee- en de driedimensionale regelmatige polytopen zijn de regelmatige veelhoeken en regelmatige veelvlakken. Klassiek kan een regelmatige polytoop in dimensies worden gedefinieerd als hebbende regelmatige (-zijden) en regelmatige . Deze twee voorwaarden zijn voldoende om ervoor te zorgen dat alle zijden en hoekpunten gelijk zijn. Merk echter op dat deze definitie niet werkt voor . De verschillende polytopen, in verschillende dimensies, worden door hun schläfli-symbool gekenmerkt. Het aantal cijfers in het schläfli-symbool van een regelmatige polytoop is één minder dan de dimensie van de polytoop.
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正多胞体 (せいたほうたい、regular polytope) とは、正多角形、正多面体などを一般次元へ拡張した、対称性の高い多胞体である。 ある正多胞体の各低次元の要素は合同であり、またそれ自体も正多胞体である。たとえば、ある正多面体の面は合同な正多角形である。ただし、デルタ多面体でわかるように、これは必要十分条件ではない。 正多胞体の必要十分な定義はさまざまだが、よく使われるのは「ファセット（facet、n - 1 次元面）が合同であり、が合同である」というものである。
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정폴리토프(Regular polytope)는 각 면이 정칙 폴리토프여서 최대의 대칭을 가진 폴리토프다. 단체, 초입방체, 정축체만이 모든 차원에서 존재한다.(단체는 정사면체의 확장, 초입방체는 정육면체의 확장, 정축체는 정팔면체의 확장이다.)
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In geometria, un politopo di dimensione d si dice politopo regolare quando sono regolari (ordinari o stellati) tutti gli elementi che lo compongono, aventi dimensioni inferiori a d.
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Правильний n-вимірний многогранник — многогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі.Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.
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Правильный n-мерный многогранник — многогранники n-мерного евклидова пространства, которые являются наиболее симметричными в некотором смысле.Правильные трёхмерные многогранники называются также платоновыми телами.
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在幾何學中，正圖形或正幾何形狀（英語：Regular Geometric Shape）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為正多胞形（英語：Regular polytope）。 和正圖形相對的概念為不規則圖形（Irregular Geometric Shape）或不規則幾何形狀、非正幾何形狀，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、（Semiregular）、圖形（Demiregular）、（Uniform）等幾何結構。
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