Reduced ring
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数学の可換環論において、被約環（ひやくかん、英: reduced ring）とは、0でないベキ零元をもたない環のことである（ベキ零元とは何乗かすると0になる元のことである）。被約環は可換環論や代数幾何学で役割を果たす。可換環上の可換多元環は環として被約なとき被約多元環と呼ばれる。被約スキームとは茎が被約なスキームである。 この記事は可換環論に関するものである。とくに、環は単位元をもち可換なものを考える。環準同型は単位元を単位元に写す。詳細は可換環論を見られたい。
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환론에서 축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.
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У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.
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Ein reduzierter Ring ist ein Ring, der außer dem Nullelement keine weiteren nilpotenten Elemente enthält. (Nilpotente Elemente ergeben entsprechend potenziert null.) Reduzierte Ringe spielen eine Rolle in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, das sind Teilgebiete der Mathematik. Ein reduziertes Schema ist ein Schema, dessen Halme reduziert sind.
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In ring theory, a branch of mathematics, a ring is called a reduced ring if it has no non-zero nilpotent elements. Equivalently, a ring is reduced if it has no non-zero elements with square zero, that is, x2 = 0 implies x = 0. A commutative algebra over a commutative ring is called a reduced algebra if its underlying ring is reduced. A quotient ring R/I is reduced if and only if I is a radical ideal. Let D be the set of all zero-divisors in a reduced ring R. Then D is the union of all minimal prime ideals.
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In matematica, un anello ridotto è un anello privo di elementi nilpotenti non nulli, ovvero in cui le potenze di ogni elemento non nullo sono tutte diverse da 0. Il concetto di anello ridotto è più debole di quello di dominio d'integrità, in quanto un divisore dello zero può non essere nilpotente: ad esempio, gli anelli e sono anelli ridotti ma non sono domini d'integrità.
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Reduzierter Ring
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Anello ridotto
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被約環
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축소환
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Reduced ring
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Редуковане кільце
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Ein reduzierter Ring ist ein Ring, der außer dem Nullelement keine weiteren nilpotenten Elemente enthält. (Nilpotente Elemente ergeben entsprechend potenziert null.) Reduzierte Ringe spielen eine Rolle in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, das sind Teilgebiete der Mathematik. Ein reduziertes Schema ist ein Schema, dessen Halme reduziert sind. Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
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In ring theory, a branch of mathematics, a ring is called a reduced ring if it has no non-zero nilpotent elements. Equivalently, a ring is reduced if it has no non-zero elements with square zero, that is, x2 = 0 implies x = 0. A commutative algebra over a commutative ring is called a reduced algebra if its underlying ring is reduced. The nilpotent elements of a commutative ring R form an ideal of R, called the nilradical of R; therefore a commutative ring is reduced if and only if its nilradical is zero. Moreover, a commutative ring is reduced if and only if the only element contained in all prime ideals is zero. A quotient ring R/I is reduced if and only if I is a radical ideal. Let D be the set of all zero-divisors in a reduced ring R. Then D is the union of all minimal prime ideals. Over a Noetherian ring R, we say a finitely generated module M has locally constant rank if is a locally constant (or equivalently continuous) function on Spec R. Then R is reduced if and only if every finitely generated module of locally constant rank is projective.
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数学の可換環論において、被約環（ひやくかん、英: reduced ring）とは、0でないベキ零元をもたない環のことである（ベキ零元とは何乗かすると0になる元のことである）。被約環は可換環論や代数幾何学で役割を果たす。可換環上の可換多元環は環として被約なとき被約多元環と呼ばれる。被約スキームとは茎が被約なスキームである。 この記事は可換環論に関するものである。とくに、環は単位元をもち可換なものを考える。環準同型は単位元を単位元に写す。詳細は可換環論を見られたい。
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In matematica, un anello ridotto è un anello privo di elementi nilpotenti non nulli, ovvero in cui le potenze di ogni elemento non nullo sono tutte diverse da 0. Il concetto di anello ridotto è più debole di quello di dominio d'integrità, in quanto un divisore dello zero può non essere nilpotente: ad esempio, gli anelli e sono anelli ridotti ma non sono domini d'integrità. Dato un anello e un ideale , il quoziente è ridotto se e solo se è un ideale radicale; in particolare, è ridotto se e solo se l'ideale è radicale, cioè se e solo se il nilradicale di (che è uguale all'intersezione di tutti gli ideali primi di ) è . Sottoanelli, prodotti diretti e localizzazioni di anelli ridotti sono ancora ridotti. In geometria algebrica, gli anelli ridotti sono rilevanti in quanto gli delle varietà affini sono anelli ridotti. Più precisamente, una delle forme equivalenti del teorema degli zeri di Hilbert afferma che, se è un campo algebricamente chiuso, allora c'è una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle varietà affini in e quello dei quozienti ridotti di e, per estensione, tra le varietà affini su e le -algebre commutative, ridotte e finitamente generate. Il concetto può essere poi generalizzato a quello di .
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환론에서 축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 0이 아닌 멱영원을 갖지 않는 환이다. 즉, 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환이다.
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У абстрактній алгебрі редукованим називається кільце в якому немає ненульових нільпотентних елементів. Дане поняття є важливим у алгебричній геометрії де на його основі також вводиться поняття редукованої схеми.
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