Proofs of trigonometric identities

rdf:langString Demostració de les identitats trigonomètriques

rdf:langString Les demostracions de les identitats trigonomètriques són justificacions que estableixen la veritat d'aquestes identitats a partir de les definicions de funcions trigonomètriques. Aquestes definicions es prenen com a axiomes. Tal com s'explica a l'article funció trigonomètrica hi ha diferents maneres de definir les funcions trigonomètriques, per tant per a cada una hi ha una manera de demostrar les identitats trigonomètriques. En alguns casos la demostració és trivial perquè la pròpia identitat trigonomètrica és la base de la definició de les funcions. Es pren com a axioma i no hi ha lloc a cap mena de demostració. Per exemple si les funcions trigonomètriques es defineixen emprant equacions funcionals, les identitats de Pitàgores i les del sinus i el cosinus de l'angle suma, passen a ser els axiomes en què es basa aquesta definició. La majoria de les demostracions que es recullen en aquesta pàgina es basen en la definició de les funcions trigonomètriques a partir del triangle rectangle i fan servir la geometria euclidiana. Tot i que aquest tractament ha tingut un lloc preferent en la història de les matemàtiques des de fa 2300 anys, els estàndards moderns no el consideren prou rigorós perquè requereixen observar figures geomètriques (en la demostració de la desigualtat entre el sinus, l'angle i la tangent) o obtenir el nombre π sense fer servir el càlcul infinitesimal. Al llibre de Whittaker i Watson, que es dona com a referència al final de l'article, es poden trobar demostracions rigoroses dels teoremes a partir de definicions de les funcions trigonomètriques basades en sèries de potències o en integrals. Des d'un punt de vista pedagògic, l'enfocament de partir de les definicions basades en el triangle rectangle tenen l'avantatge que es poden seguir sense cap coneixement previ de càlcul infinitesimal. També tenen l'avantatge que permeten seguir un camí des de la geometria física cap a la geometria matemàtica que permet entendre el lligam estret entre la geometria descriptiva i la geometria analítica. Les funcions trigonomètriques no es presenten com uns ens abstractes fruit d'una definició arbitrària que després, aparentment per casualitat, resulta que tenen aplicació pràctica a la geometria física. De fet es ressegueix el mateix camí històric que ha dut al desenvolupament de la trigonometria i del càlcul infinitesimal a partir de la geometria física.