Polar set

rdf:langString Ensemble polaire

rdf:langString En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité, nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual. Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature : * le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à ; * le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ; * le polaire de la boule unité fermée de la norme ℓp de ℝn est la boule unité fermée de la norme ℓq, avec 1/p + 1/q = 1. En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).