Plateau's problem
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En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la .
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In mathematics, Plateau's problem is to show the existence of a minimal surface with a given boundary, a problem raised by Joseph-Louis Lagrange in 1760. However, it is named after Joseph Plateau who experimented with soap films. The problem is considered part of the calculus of variations. The existence and regularity problems are part of geometric measure theory.
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Zagadnienie Plateau – problem matematyczny polegający na znalezieniu powierzchni o zadanym brzegu, która ma minimalne pole, nazwany imieniem belgijskiego fizyka Josepha Plateau, który wykonał szereg doświadczeń z tym związanych.
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Em matemática, o problema de Plateau é mostrar a existência de uma superfície mínima com uma fronteira dada, um problema levantado por Joseph-Louis Lagrange em 1760. Contudo, foi nomeado posteriormente por Joseph Plateau que experimentou com películas de sabão. O problema é considerado parte do cálculo de variações. A existência e regularidade dos problemas são parte da .
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Задача Плато — вопрос о существовании минимальной поверхности с заданной границей: доказать существование поверхности наименьшей площади с границей, образованной заданной жордановой кривой в пространстве. Впервые поставлена Жозефом Лагранжем в 1760 году;названа в честь Жозефа Плато, проводившим опыты с мыльными плёнками.Решена независимо друг от друга в 1930 году Джесси Дугласом и (венг. Radó Tibor) с определёнными топологическими ограничениями.Дуглас за решение получил Филдсовскую премию 1936 года. В 1960 году Герберт Федерер и решили общий случай, используя разработанную ими теорию потоков.
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In der Mathematik besteht das Plateau-Problem darin, eine Minimalfläche zu finden, die als Rand eine gegebene Kurve besitzt. Es ist benannt nach Joseph Plateau, der die Formen von Seifenhäuten in Drahtgestellen experimentell bestimmte. Erstmals mathematisch formuliert wurde das Problem 1760 durch Joseph-Louis Lagrange. Es gehört zum Gebiet der Variationsrechnung.
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En mathématiques, le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étant donné, l'existence d'une surface minimale s'appuyant sur ce bord. Il fut posé par Joseph-Louis Lagrange en 1760, mais porte le nom de Joseph Plateau, qui s'intéressait aux films de savon. C'était à l'origine un problème de calcul des variations. Actuellement, le problème de l'existence et de la régularité des solutions fait partie de la théorie géométrique de la mesure.
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In matematica, il problema di Plateau consiste nel dimostrare l'esistenza di una superficie minima corrispondente ad un determinato bordo. Il problema fu proposto da Lagrange nel 1760, tuttavia prende il nome di Joseph Plateau, che fece esperimenti su di esso tramite bolle di sapone. Questo problema è importante nel calcolo delle variazioni, e ha dato origine alla , formulata da nel 1960. Nel 1936 Douglas ottenne la medaglia Fields per questo risultato.
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In de variatierekening, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het probleem van Plateau eruit te laten zien dat er een minimaaloppervlak bestaat, dat wordt begrensd door een gesloten driedimensionale kromme. Een dergelijk oppervlak kan experimenteel geconstrueerd worden wanneer men zo een kromme uit gebogen metaaldraad in een zeepoplossing onderdompelt. De over de draad gevormde zeepbel zal immers ten gevolge van de oppervlaktespanning een minimaaloppervlak aannemen. Pas in 1930 vonden Jesse Douglas en Tibor Radó onafhankelijk van elkaar algemene oplossingen voor het probleem.
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普拉托问题（英語：Plateau's problem）是数学中与极小曲面有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。此问题最早由18世纪的法国数学家拉格朗日在1760年提出。而之后比利时人约瑟夫·普拉托在19世纪进行了大量关于皂液膜（肥皂泡）的实验，并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律（普拉托定律）。普拉托问题是变分法研究的一个分支。普拉托问题中的极小曲面的存在性以及其（是否可微，是否光滑等等）是的研究对象。数学家们首先从解决普拉托问题的各种约束下的特殊情况开始。1930年，杰西·道格拉斯和得到了在映照（浸入）参照下的一般解。两人的方法有很大差别。拉多的方法建立在加尼尔的工作上，只能证明边界为可求长的简单闭曲线的情况。道格拉斯则运用了全新的思路，对任意的简单闭曲线都适用。两人的方法都包括了求解最小值问题，不同之处为道格拉斯最小化的对象是现在称为“道格拉斯积分”的积分式，而拉多最小化的对象是类似于保守场的“能量”。道格拉斯因这方面的工作获得了1936年的菲尔兹奖.
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Plateau-Problem
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Problema de Plateau
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Problème de Plateau
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Problema di Plateau
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Probleem van Plateau
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Plateau's problem
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Zagadnienie Plateau
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Problema de Plateau
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Задача Плато
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普拉托问题
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O'Neil, T.C.
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Geometric Measure Theory
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Plateau's Problem
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In der Mathematik besteht das Plateau-Problem darin, eine Minimalfläche zu finden, die als Rand eine gegebene Kurve besitzt. Es ist benannt nach Joseph Plateau, der die Formen von Seifenhäuten in Drahtgestellen experimentell bestimmte. Erstmals mathematisch formuliert wurde das Problem 1760 durch Joseph-Louis Lagrange. Es gehört zum Gebiet der Variationsrechnung. In allgemeinerem Sinn versteht man darunter einen ganzen Komplex von Problemen, die von folgender Form sind: man finde ein Element aus einer vorgegebenen Menge von „Oberflächen“, die bestimmte Randbedingungen erfüllen, und die eine gegebene „Flächen“-Funktion minimieren oder ein kritischer Punkt dieser Funktion sind. Außerdem sollten die Lösungen bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllen. Das Plateauproblem hat seit seiner Formulierung im 19. Jahrhundert zu viel Forschungsarbeit und neuen Entwicklungen in der Mathematik Anstoß gegeben und stellt in seinen verschiedenen Verallgemeinerungen auch noch offene Probleme zum Beispiel bei Minimalflächen.
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En matemáticas, el problema de Plateau es mostrar la existencia de una superficie minimal con una frontera dada, un problema planteado por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, fue nombrado posteriormente por Joseph Plateau quien experimentó con películas de jabón. El problema es considerado parte del cálculo de variaciones. La existencia y regularidad de los problemas son parte de la .
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In mathematics, Plateau's problem is to show the existence of a minimal surface with a given boundary, a problem raised by Joseph-Louis Lagrange in 1760. However, it is named after Joseph Plateau who experimented with soap films. The problem is considered part of the calculus of variations. The existence and regularity problems are part of geometric measure theory.
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En mathématiques, le problème de Plateau consiste à montrer, un bord étant donné, l'existence d'une surface minimale s'appuyant sur ce bord. Il fut posé par Joseph-Louis Lagrange en 1760, mais porte le nom de Joseph Plateau, qui s'intéressait aux films de savon. C'était à l'origine un problème de calcul des variations. Actuellement, le problème de l'existence et de la régularité des solutions fait partie de la théorie géométrique de la mesure. Jusque dans les années 1930, on ne connaissait que des solutions dans des cas particuliers. Ce sont les travaux indépendants de Jesse Douglas et Tibor Radó qui apportèrent la première résolution complète. Leurs méthodes étaient assez différentes : le travail de Radó s'appuyait sur des travaux antérieurs de Garnier et ne s'appliquait qu'au cas où la courbe simple fermée qui constitue le bord est rectifiable, tandis que Douglas, par des idées nouvelles, évitait cette restriction. Tous deux traitaient la question comme un problème de minimisation : Douglas minimisait ce qu'on appelle aujourd'hui l'intégrale de Douglas, tandis que Radó minimisait l'énergie, ce qui donne une explication aux phénomènes physiques observés. Douglas reçut la médaille Fields en 1936 pour sa solution. L'extension de ce problème à des dimensions supérieures (c'est-à-dire à des sous-variétés de dimension k de l'espace de dimension n) se révèle bien plus complexe à étudier, d'autant plus que les solutions peuvent alors avoir des singularités si k ≤ n - 2. Dans le cas d'hypersurfaces, c'est-à-dire si k = n - 1, des singularités n'apparaissent que si n ≥ 8. Pour résoudre cette extension du problème, la (en) de Ennio De Giorgi pour les bords, et celle des courants rectifiables de Federer et Fleming ont été développées.
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In matematica, il problema di Plateau consiste nel dimostrare l'esistenza di una superficie minima corrispondente ad un determinato bordo. Il problema fu proposto da Lagrange nel 1760, tuttavia prende il nome di Joseph Plateau, che fece esperimenti su di esso tramite bolle di sapone. Questo problema è importante nel calcolo delle variazioni, e ha dato origine alla , formulata da nel 1960. Sono stati risolti diversi casi particolari del problema, ma solo nel 1930 Jesse Douglas e , indipendentemente uno dall'altro, hanno trovato soluzioni generali. Il metodo usato è stato peraltro molto diverso; la soluzione di Radó era basata su precedenti lavori di René Garnier ed è valida solamente per curve chiuse semplici e rettificabili, mentre Douglas si è avvalso di idee completamente nuove, e il suo risultato è valido per ogni curva chiusa semplice. Entrambi dovettero risolvere problemi di minimizzazione; Douglas minimizzò il cosiddetto "integrale di Douglas", mentre Radó minimizzò l'energia. Nel 1936 Douglas ottenne la medaglia Fields per questo risultato. L'estensione del problema a dimensioni più alte (cioè a superfici k-dimensionali e spazi n-dimensionali) si è rivelata molto più difficile. Si è scoperto che, mentre le soluzioni del problema originale sono sempre regolari, quelle del problema esteso possono avere delle singolarità nel caso in cui k ≤ n − 2. In una ipersuperficie con k = n − 1, le singolarità compaiono solo con n ≥ 8. Per la codimensione 1 Ennio De Giorgi ha elaborato una soluzione generale partendo dalla teoria degli insiemi con perimetro (localmente) finito, formulata da Renato Caccioppoli nel 1929. Per codimensioni più alte Federer e Fleming hanno sviluppato la "teoria delle correnti rettificabili".
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In de variatierekening, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het probleem van Plateau eruit te laten zien dat er een minimaaloppervlak bestaat, dat wordt begrensd door een gesloten driedimensionale kromme. Een dergelijk oppervlak kan experimenteel geconstrueerd worden wanneer men zo een kromme uit gebogen metaaldraad in een zeepoplossing onderdompelt. De over de draad gevormde zeepbel zal immers ten gevolge van de oppervlaktespanning een minimaaloppervlak aannemen. Dit probleem werd vernoemd naar de Belgische wis- en natuurkundige Joseph Plateau, die zich verdiept heeft in de studie van zeepbellen, maar was reeds door Joseph-Louis Lagrange in 1760 geformuleerd. Het probleem van Plateau behoort tot de variatierekening. Pas in 1930 vonden Jesse Douglas en Tibor Radó onafhankelijk van elkaar algemene oplossingen voor het probleem.
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Zagadnienie Plateau – problem matematyczny polegający na znalezieniu powierzchni o zadanym brzegu, która ma minimalne pole, nazwany imieniem belgijskiego fizyka Josepha Plateau, który wykonał szereg doświadczeń z tym związanych.
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Em matemática, o problema de Plateau é mostrar a existência de uma superfície mínima com uma fronteira dada, um problema levantado por Joseph-Louis Lagrange em 1760. Contudo, foi nomeado posteriormente por Joseph Plateau que experimentou com películas de sabão. O problema é considerado parte do cálculo de variações. A existência e regularidade dos problemas são parte da .
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Задача Плато — вопрос о существовании минимальной поверхности с заданной границей: доказать существование поверхности наименьшей площади с границей, образованной заданной жордановой кривой в пространстве. Впервые поставлена Жозефом Лагранжем в 1760 году;названа в честь Жозефа Плато, проводившим опыты с мыльными плёнками.Решена независимо друг от друга в 1930 году Джесси Дугласом и (венг. Radó Tibor) с определёнными топологическими ограничениями.Дуглас за решение получил Филдсовскую премию 1936 года. В 1960 году Герберт Федерер и решили общий случай, используя разработанную ими теорию потоков.
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普拉托问题（英語：Plateau's problem）是数学中与极小曲面有关的一类问题，旨在研究在边界固定时极小表面的存在性。此问题最早由18世纪的法国数学家拉格朗日在1760年提出。而之后比利时人约瑟夫·普拉托在19世纪进行了大量关于皂液膜（肥皂泡）的实验，并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律（普拉托定律）。普拉托问题是变分法研究的一个分支。普拉托问题中的极小曲面的存在性以及其（是否可微，是否光滑等等）是的研究对象。数学家们首先从解决普拉托问题的各种约束下的特殊情况开始。1930年，杰西·道格拉斯和得到了在映照（浸入）参照下的一般解。两人的方法有很大差别。拉多的方法建立在加尼尔的工作上，只能证明边界为可求长的简单闭曲线的情况。道格拉斯则运用了全新的思路，对任意的简单闭曲线都适用。两人的方法都包括了求解最小值问题，不同之处为道格拉斯最小化的对象是现在称为“道格拉斯积分”的积分式，而拉多最小化的对象是类似于保守场的“能量”。道格拉斯因这方面的工作获得了1936年的菲尔兹奖. 更高维度空间中的普拉托问题（关于n维欧几里得空间中的k维曲面上极小曲面的问题）比三维空间中曲面的普拉托问题更为困难。不仅如此，与三维空间中曲面的普拉托问题的解总是正则的特性不同，研究发现扩展到高维空间中的普拉托问题的解在 k ≤ n − 2 可能出现不规则的奇点。当曲面是超平面的时候（即曲面维度 k = n − 1 的时候），则只在空间维度 n ≥ 8 的时候解会出现不规则的奇点。
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