Phase space
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Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines dynamischen Systems. Ein Zustand wird durch einen Punkt im Phasenraum eindeutig abgebildet. In der Mechanik besteht er aus verallgemeinerten Koordinaten (Konfigurationsraum) und zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten (siehe Prinzip der virtuellen Leistung).
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Dans la théorie des systèmes dynamiques, un espace des phases (ou espace d'état) est un espace mathématique dans lequel tous les états possibles d'un système sont représentés ; chaque état possible correspondant à un point unique dans l'espace des phases. Pour les systèmes mécaniques, l'espace des phases se compose généralement de toutes les valeurs possibles des variables de position et d'impulsion. Pour une particule, l'espace des phases a 6 dimensions, les espaces des positions et des impulsions ayant chacun 3 dimensions.Le concept d'espace des phases a été développé à la fin du XIXe siècle par Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré et Josiah Willard Gibbs .
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In dynamical system theory, a phase space is a space in which all possible states of a system are represented, with each possible state corresponding to one unique point in the phase space. For mechanical systems, the phase space usually consists of all possible values of position and momentum variables. It is the outer product of direct space and reciprocal space. The concept of phase space was developed in the late 19th century by Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré, and Josiah Willard Gibbs.
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수리물리학에서 위상공간(位相空間, 영어: phase space)은 계가 가질 수 있는 모든 상태로 이루어진 공간이다. 고전역학에서 위상공간은 위치와 운동량 변수가 가질 수 있는 모든 값들로 이루어진다. 한 개의 입자(질점)의 상태는 위치와 운동량(또는 속도)으로 정해지므로, 6차원(=공간 3차원*변수 2개) 공간인 위상공간의 한 점(상태점)에 대응한다. 시간이 지나면서, 상태점은 궤적을 그린다. N개의 입자계의 경우에는 N개 입자의 각각의 위치와 운동량(또는 속도)의 각 성분에 하나씩의 좌표를 할당하여 6N차원의 공간을 생각하며, 입자계의 상태를 6N차원 위상공간의 한 점(상태점)에 대응시킨다. 시간의 경과에 따라 이 상태점은 6N차원 위상공간에서 하나의 궤적을 그리게 된다.
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物理学における位相空間（いそうくうかん、英: phase space）とは、力学系の位置と運動量を座標（直交軸）とする空間のことである。数学における位相空間（topological space）と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。 ハミルトン形式においては位置と運動量がとなり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。 1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。d-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ d 成分あり、合わせて 2d 成分となる。これらを座標とする 2d 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。 d-次元空間を運動する N 個の質点系の運動の状態は 2d 次元位相空間上の N 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。 質点系は上記の分布による表現だけではなく、N 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする 2Nd-次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの 2Nd-次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。
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In de systeemtheorie is de faseruimte van een systeem een ruimte waarin elke mogelijke toestand van het systeem voorgesteld wordt door een punt in die ruimte. Voor mechanische systemen bestaat de faseruimte gewoonlijk uit alle combinaties van plaats en impuls of snelheid, ofwel bewegingstoestanden, van een mechanisch systeem. De term werd voor het eerst gebruikt in de statistische mechanica, door Willard Gibbs in 1901.
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在數學與物理學中，相空間是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。
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Фáзовий прóстір — багатовимірний простір змінних динамічної системи.
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فضاء الطور أو فضاء الحالة في الفيزياء وعلم الأحياء (بالإنجليزية: Phase space) هو كمية الحالات الممكنة التي يحتويها نظام حركي. وتوصف «الحالة» بواسطة مجموعة المتغيرات للنظام عند نقطة زمنية معينة. ففي الفيزياء مثلا يمكن أن تكون الحالة ممثلة بالموضع وكمية الحركة لجسيم، وبالنسبة ديناميكا حرارية تمثل دالات الحالة مثل الضغط والحجم ودرجة الحرارة مجموع تلك المتغيرات، تكون هي فضاء الحالة. وفي علم الأحياء تعني فضاء الطور أعداد نوع الحيوانات المتنافسة. وتنتمي لكل حالة نقطة معينة في فضاء الطور، مثلما نصف كل نقطة في الفضاء بمقاييس ثلاث على 3 محاور: س، ص، ع.
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En física i matemàtiques l'espai de fases és un espai matemàtic on es representen tots els possibles estats d'un sistema, de manera que cada un d'aquests possibles estats correspongui a un únic punt d'aquest espai. Cada eix d'aquest espai correspon a una variable o grau de llibertat del sistema. Cal no confondre el terme amb «diagrama de fases», que s'acostuma a reservar per a les representacions de les diverses fases d'un sistema termodinàmic.
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Jako fázový prostor se ve fyzice nazývá prostor proměnných (tedy zobecněných souřadnic) a (tedy zobecněných hybností). Body fázového prostoru se používají k reprezentaci stavů v každém časovém okamžiku. Tyto body se pak označují jako reprezentativní (nebo fázové) body. Změna stavu, tedy vývoj soustavy, je pak představována pohybem reprezentativního bodu ve fázovém prostoru. Křivka, po které se reprezentativní bod ve fázovém prostoru pohybuje, se označuje jako reprezentativní (fázová) trajektorie. Pokud zmíněná trajektorie vytváří určitou strukturu, jde o atraktor. Fázový prostor našel velké uplatnění při studiu chaosu.
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En matematiko kaj fiziko, faza spaco estas la spaco en kiu ĉiuj eblaj statoj de sistemo estas reprezentitaj, kun ĉiu ebla stato de la sistemo signata de unu unika punkto en la faza spaco. Por mekanikaj sistemoj, la faza spaco kutime konsistas de ĉiuj eblaj valoroj de la variabloj de pozicio kaj momanto. Grafika prezento de variabloj de pozicio kaj momanto kiel funkcio de tempo estas iam nomita . Tie, la horizontala akso donas la pozicion kaj la vertikala akso la direkton-rapidon. Dum la sistemo evoluas, ĝia stato sekvas unu el la linioj (trajektorioj) sur la faza figuro.
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En mecánica clásica, el espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de partículas. Más técnicamente, el espacio de fases es una variedad diferenciable de dimensión par, tal que las coordenadas de cada punto representan tanto las posiciones generalizadas como sus momentos conjugados correspondientes. Es decir, cada punto del espacio fásico representa un estado del sistema físico. Ese estado físico vendrá caracterizado por la posición de cada una de las partículas y sus respectivos momentos.
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Przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów) – przestrzeń przypisana do danego układu dynamicznego; osie współrzędnych reprezentują różne wielkości fizyczne (w ogólności np. współrzędne uogólnione i pędy uogólnione), pozwalające jednoznacznie opisać stanu tego układu, tzn. każdy punkt przestrzeni fazowej przedstawia jeden możliwy stan układu. W termodynamice przestrzeń stanów stałej porcji substancji jest reprezentowana przez ciśnienie i temperaturę (lub ciśnienie i objętość, itd.).
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Espaço de fases (português brasileiro) ou espaço de fase (português europeu) ou espaço fásico é definido como o espaço formado pelas posições generalizadas e seus momentos conjugados correspondentes. Se emprega no contexto da mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana. Usualmente se designa o espaço fásico ou uma parte dele por Γ (gamma maiúscula). Fisicamente cada ponto do espaço fásico representa um possível estado do sistema mecânico.
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Fasrummet är ett matematiskt rum som beskriver ett systems konfiguration och rörelse. Varje frihetsgrad och dess förändring över tiden är en koordinat. Punkterna i rummet har formen och motsvarar ett fullständigt tillstånd av hela systemet. Ett enkelt system med endast en partikel skulle ha ett 6-dimensionellt fasrum, tre dimensioner för att beskriva dess läge och tre för att beskriva dess rörelsemängder. Fasrum spelar stor roll inom teorin för dynamiska system, mekanik och statistisk mekanik.
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Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — то есть её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (следует отметить, что она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.
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فضاء الطور
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Espai de fases
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Fázový prostor
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Phasenraum
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Faza spaco
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Espacio fásico
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Spazio delle fasi
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Espace des phases
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위상 공간 (물리학)
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位相空間 (物理学)
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Phase space
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Przestrzeń fazowa
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Faseruimte
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Espaço fásico
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Фазовое пространство
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Fasrum
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Фазовий простір
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相空間
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Phase space
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En física i matemàtiques l'espai de fases és un espai matemàtic on es representen tots els possibles estats d'un sistema, de manera que cada un d'aquests possibles estats correspongui a un únic punt d'aquest espai. Cada eix d'aquest espai correspon a una variable o grau de llibertat del sistema. Cal no confondre el terme amb «diagrama de fases», que s'acostuma a reservar per a les representacions de les diverses fases d'un sistema termodinàmic. L'espai de fases queda definit pel conjunt de variables que descriuen els graus de llibertat. Cada punt de l'espai correspon a un estat del sistema, i la seva evolució, en forma de trajectòria, dona una imatge gràfica del que està passant. La dimensió de l'espai de fases coincideix amb el nombre de graus de llibertat del sistema i, per tant, amb la seva dimensionalitat dinàmica. ExempleConsiderem l'exemple d'un pèndol simple. El seu estat queda determinat perfectament amb la posició (angle) i velocitat angular. D'aquesta manera, un possible espai de fases adequat seria un espai cartesià bidimensional, amb un eix que representi la velocitat i un altre la posició.
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فضاء الطور أو فضاء الحالة في الفيزياء وعلم الأحياء (بالإنجليزية: Phase space) هو كمية الحالات الممكنة التي يحتويها نظام حركي. وتوصف «الحالة» بواسطة مجموعة المتغيرات للنظام عند نقطة زمنية معينة. ففي الفيزياء مثلا يمكن أن تكون الحالة ممثلة بالموضع وكمية الحركة لجسيم، وبالنسبة ديناميكا حرارية تمثل دالات الحالة مثل الضغط والحجم ودرجة الحرارة مجموع تلك المتغيرات، تكون هي فضاء الحالة. وفي علم الأحياء تعني فضاء الطور أعداد نوع الحيوانات المتنافسة. وتنتمي لكل حالة نقطة معينة في فضاء الطور، مثلما نصف كل نقطة في الفضاء بمقاييس ثلاث على 3 محاور: س، ص، ع. أحيانا لا نكتفي بوصف جسيم بمجرد معرفة الثلاثة إحداثيات س وص وع التي تحدد وضعه وقد لا نحتاج لوصف حالته أيضا معرفة سرعته أو زخم حركته، عندئذ نلجأ إلى وصفه بفضاء الحالة أو فضاء الطور.
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Jako fázový prostor se ve fyzice nazývá prostor proměnných (tedy zobecněných souřadnic) a (tedy zobecněných hybností). Body fázového prostoru se používají k reprezentaci stavů v každém časovém okamžiku. Tyto body se pak označují jako reprezentativní (nebo fázové) body. Změna stavu, tedy vývoj soustavy, je pak představována pohybem reprezentativního bodu ve fázovém prostoru. Křivka, po které se reprezentativní bod ve fázovém prostoru pohybuje, se označuje jako reprezentativní (fázová) trajektorie. Pokud zmíněná trajektorie vytváří určitou strukturu, jde o atraktor. Fázový prostor našel velké uplatnění při studiu chaosu. Je-li dimenze konfiguračního prostoru , pak dimenze fázového prostoru je .
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Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines dynamischen Systems. Ein Zustand wird durch einen Punkt im Phasenraum eindeutig abgebildet. In der Mechanik besteht er aus verallgemeinerten Koordinaten (Konfigurationsraum) und zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten (siehe Prinzip der virtuellen Leistung).
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En matematiko kaj fiziko, faza spaco estas la spaco en kiu ĉiuj eblaj statoj de sistemo estas reprezentitaj, kun ĉiu ebla stato de la sistemo signata de unu unika punkto en la faza spaco. Por mekanikaj sistemoj, la faza spaco kutime konsistas de ĉiuj eblaj valoroj de la variabloj de pozicio kaj momanto. Grafika prezento de variabloj de pozicio kaj momanto kiel funkcio de tempo estas iam nomita . En faza spaco, ĉiu grado de libereco aŭ parametro de la sistemo estas prezentita kiel akso de multdimensia spaco. Por ĉiu ebla stato de la sistemo, aŭ permesita kombinaĵo de valoroj de la sistemaj parametroj, punkto estas grafike prezentita en la multdimensia spaco. Ofte ĉi tiu sinsekvo de grafike prezentitaj punktoj estas analoga al la sistema stato evoluanta tra tempo. Fine, la faza figuro prezentas ĉion kio la sistemo povas esti, kaj ĝia formo povas facile montri kvalitojn de la sistemo kiuj povus ne esti evidentaj alie. Faza spaco povas enhavi tre multajn dimensiojn, ekzemple gaso enhavanta multajn molekulojn povas postuli apartan dimension por ĉiuj partiklaj pozicioj x, y kaj z kaj direktoj-rapidoj kaj ankaŭ iun ajn nombron da aliaj propraĵoj. En klasika mekaniko la koordinatoj en faza spaco estas la qi kaj iliaj pi. La moviĝo de de sistemoj en tiu spaco estas studata de klasika statistika mekaniko. La loka denseco de punktoj en tiaj sistemoj obeas la , kaj do, povas esti konsiderata konstanto. En la ĉirkaŭteksto de modela sistemo en klasika mekaniko, la koordinatoj en faza spaco de la sistemo je iu ajn donita tempo estas konsistas el ĉiuj el la sistemaj dinamikaj variabloj. Pro tio, estas eble kalkuli la staton de la sistemo je iu ajn donita tempo en la estonteco aŭ la pasinteco, per integralado de Hamiltonaj aŭ Lagrange-aj ekvacioj de moviĝo. Plue, ĉar ĉiu punkto en faza spaco kuŝas sur ĝuste unu faza trajektorio, neniuj du fazo-trajektorioj povas intersekci. Por simplaj sistemoj, kiel sola partiklo movanta en unu dimensio ekzemple, povas esti tiel malmultaj kiel du gradoj de libereco, (tipe, pozicio kaj direkto-rapido), kaj skizo de la faza portreto povas doni kvalitecan informon pri la dinamiko de sistemo, kiel la de la montrita en la figuro. Tie, la horizontala akso donas la pozicion kaj la vertikala akso la direkton-rapidon. Dum la sistemo evoluas, ĝia stato sekvas unu el la linioj (trajektorioj) sur la faza figuro. Klasika ekzemplo de faza figuro de kaoso-teorio estas la .
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En mecánica clásica, el espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de partículas. Más técnicamente, el espacio de fases es una variedad diferenciable de dimensión par, tal que las coordenadas de cada punto representan tanto las posiciones generalizadas como sus momentos conjugados correspondientes. Es decir, cada punto del espacio fásico representa un estado del sistema físico. Ese estado físico vendrá caracterizado por la posición de cada una de las partículas y sus respectivos momentos. El formalismo del espacio fásico se emplea en el contexto de la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana. Usualmente se designa el espacio fásico o una parte de él por Γ (gamma mayúscula). Físicamente cada punto del espacio fásico representa un posible estado del sistema mecánico. En física estadística se usan distribuciones de probabilidad definidas sobre el espacio fásico. Partiendo de cierto subconjunto de las distribuciones de probabilidad de un espacio fásico puede construirse una estructura de espacio de Hilbert. Estos espacios de Hilbert de un sistema clásico son la base para los espacios de Hilbert que aparecen en mecánica cuántica.
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Dans la théorie des systèmes dynamiques, un espace des phases (ou espace d'état) est un espace mathématique dans lequel tous les états possibles d'un système sont représentés ; chaque état possible correspondant à un point unique dans l'espace des phases. Pour les systèmes mécaniques, l'espace des phases se compose généralement de toutes les valeurs possibles des variables de position et d'impulsion. Pour une particule, l'espace des phases a 6 dimensions, les espaces des positions et des impulsions ayant chacun 3 dimensions.Le concept d'espace des phases a été développé à la fin du XIXe siècle par Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré et Josiah Willard Gibbs .
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In dynamical system theory, a phase space is a space in which all possible states of a system are represented, with each possible state corresponding to one unique point in the phase space. For mechanical systems, the phase space usually consists of all possible values of position and momentum variables. It is the outer product of direct space and reciprocal space. The concept of phase space was developed in the late 19th century by Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré, and Josiah Willard Gibbs.
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수리물리학에서 위상공간(位相空間, 영어: phase space)은 계가 가질 수 있는 모든 상태로 이루어진 공간이다. 고전역학에서 위상공간은 위치와 운동량 변수가 가질 수 있는 모든 값들로 이루어진다. 한 개의 입자(질점)의 상태는 위치와 운동량(또는 속도)으로 정해지므로, 6차원(=공간 3차원*변수 2개) 공간인 위상공간의 한 점(상태점)에 대응한다. 시간이 지나면서, 상태점은 궤적을 그린다. N개의 입자계의 경우에는 N개 입자의 각각의 위치와 운동량(또는 속도)의 각 성분에 하나씩의 좌표를 할당하여 6N차원의 공간을 생각하며, 입자계의 상태를 6N차원 위상공간의 한 점(상태점)에 대응시킨다. 시간의 경과에 따라 이 상태점은 6N차원 위상공간에서 하나의 궤적을 그리게 된다.
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物理学における位相空間（いそうくうかん、英: phase space）とは、力学系の位置と運動量を座標（直交軸）とする空間のことである。数学における位相空間（topological space）と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。 ハミルトン形式においては位置と運動量がとなり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。 1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。d-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ d 成分あり、合わせて 2d 成分となる。これらを座標とする 2d 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。 d-次元空間を運動する N 個の質点系の運動の状態は 2d 次元位相空間上の N 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。 質点系は上記の分布による表現だけではなく、N 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする 2Nd-次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの 2Nd-次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。
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In de systeemtheorie is de faseruimte van een systeem een ruimte waarin elke mogelijke toestand van het systeem voorgesteld wordt door een punt in die ruimte. Voor mechanische systemen bestaat de faseruimte gewoonlijk uit alle combinaties van plaats en impuls of snelheid, ofwel bewegingstoestanden, van een mechanisch systeem. De term werd voor het eerst gebruikt in de statistische mechanica, door Willard Gibbs in 1901.
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Espaço de fases (português brasileiro) ou espaço de fase (português europeu) ou espaço fásico é definido como o espaço formado pelas posições generalizadas e seus momentos conjugados correspondentes. Se emprega no contexto da mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana. Usualmente se designa o espaço fásico ou uma parte dele por Γ (gamma maiúscula). Fisicamente cada ponto do espaço fásico representa um possível estado do sistema mecânico. Em física estatística se usam distribuições de probabilidade definidas sobre o espaço fásico. Partindo de certo subconjunto das distribuições de probabilidade de um espaço fásico pode construir-se uma estrutura de espaço de Hilbert. Estes espaços de Hilbert de um sistema clássico são a base para os espaços de Hilbert que aparecem na mecânica quântica.
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Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — то есть её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (следует отметить, что она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью. Концепция фазового пространства была разработана в конце XIX века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом.
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Przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów) – przestrzeń przypisana do danego układu dynamicznego; osie współrzędnych reprezentują różne wielkości fizyczne (w ogólności np. współrzędne uogólnione i pędy uogólnione), pozwalające jednoznacznie opisać stanu tego układu, tzn. każdy punkt przestrzeni fazowej przedstawia jeden możliwy stan układu. W mechanice klasycznej przestrzeń stanów układu cząstek materialnych jest reprezentowana przez położenia i pędy poszczególnych cząstek. Np. stan jednej cząstki w przestrzeni jest określony w pełni, jeżeli są dane współrzędne położenia i współrzędne pędu cząstki, tj.. W termodynamice przestrzeń stanów stałej porcji substancji jest reprezentowana przez ciśnienie i temperaturę (lub ciśnienie i objętość, itd.). Koncepcja przestrzeni stanów rozwinęli w późnych latach XIX-tego wieku Ludwig Boltzmann, Henri Poincaré oraz Josiah Willard Gibbs. Jeżeli układ zmienia swój stan w czasie, to kreśli w przestrzeni stanów krzywą zwaną trajektorią, krzywą fazową lub orbitą.
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Fasrummet är ett matematiskt rum som beskriver ett systems konfiguration och rörelse. Varje frihetsgrad och dess förändring över tiden är en koordinat. Punkterna i rummet har formen och motsvarar ett fullständigt tillstånd av hela systemet. Ett enkelt system med endast en partikel skulle ha ett 6-dimensionellt fasrum, tre dimensioner för att beskriva dess läge och tre för att beskriva dess rörelsemängder. Om systemets dynamik består av första ordningens differentialekvationer kommer tillståndet att röra sig längs en kurva genom rummet, helt bestämd av sin startpunkt. Två sådana kurvor kan inte korsa varandra, eftersom de hädanefter skulle sammanfalla. En vanlig form av diagram i teorin för dynamiska system är fasporträtt, där familjer av lösningskurvor ritas ut för att markera vilka former av dynamik som är möjliga för systemet och var dess kritiska punkter finns. Fasrum spelar stor roll inom teorin för dynamiska system, mekanik och statistisk mekanik.
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在數學與物理學中，相空間是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。
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Фáзовий прóстір — багатовимірний простір змінних динамічної системи.
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