Morse homology

rdf:langString Homologie de Morse

rdf:langString L'homologie de Morse est une approche homologique de la théorie de Morse. Elle permet de comprendre l'homologie d'une variété différentielle compacte par la donnée d'une fonction de Morse et d'une métrique riemannienne (avec des conditions de compatibilité). Réciproquement, l'homologie de Morse permet de comprendre combinatoirement la dynamique d'un flot de gradient générique d'une fonction de Morse donnée sur une variété compacte à partir de l'homologie de la variété. Cette approche homologique conduit à l'écriture des inégalités de Morse. Fixons une fonction de Morse sur une variété différentielle compacte , munie d'une métrique riemannienne . En pratique, le choix de la métrique riemannienne a une importance secondaire : l'espace des métriques riemanniennes est un cône convexe de l'espace des sections du fibré vectoriel , et des variations globales sur peuvent être effectuées. L'homologie de Morse consiste à définir un complexe de chaînes ou de cochaînes suivant les auteurs, soit donc : * Un -module gradué ou , dont la définition est indépendante de ; * Une application -linéaire ou , de carré nul, et de degré -1 ou +1. Plus explicitement, ou est le -module libre de base l'ensemble des points critiques de la fonction ; la graduation dépend d'une convention. L'opérateur de bord ou de cobord se définit en comptant les orbites du flot de plus ou moins le gradient de connectant des points critiques présentant une différence d'indices de 1. La finitude du nombre de telles orbites est assurée par une condition générique portant sur ou sur . L'introduction de signes est nécessaire pour assurer que le carré de soit nul. Les groupes d'homologie ou de cohomologie du complexe de chaînes ou de cochaînes ainsi définis sont indépendants du choix de la métrique : ils sont notés ou . Ils sont naturellement isomorphes aux groupes d'homologie ou de cohomologie de la variété à coefficients dans .