Modular exponentiation
http://dbpedia.org/resource/Modular_exponentiation an entity of type: WikicatCryptographicAlgorithms
冪剰余（べきじょうよ、英: modular exponentiation）とは、冪乗の剰余のことである。数論的に重要な概念であるとともに、計算機科学、特に暗号理論の分野での応用が重要である。冪乗剰余とも呼ばれる。 正の整数 b（底）の整数 e 乗（冪指数）を正の整数 m（法）で割った余りを、「m を法とする b の e-冪剰余」と呼ぶ。つまり、冪剰余を求めるとは、次の c を計算することにほかならない。 例えば、b = 5、e = 3、m = 13 の場合、c は 53 を 13 で割った余りであり、冪剰余は 8 となる。 冪指数 e = 2, 3 に対する e-冪剰余は、通常それぞれ平方剰余、立方剰余と呼ばれる。 冪剰余 c を求める計算は、たとえ巨大な数であっても難しくはない。一方、b, c, m が与えられたとき指数 e を求めることを考えると、これは Z/mZ の乗法群における離散対数問題と同値であり、一般に難しい。このような一方向性関数的性質から、冪剰余の暗号での利用についての研究が進んでいる。
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模幂（英語：modular exponentiation）是一种对模进行的冪运算，在计算机科学，尤其是公开密钥加密方面有一定用途。 模幂运算是指求整数b的e次方be被正整数m所除得到的余数c的过程，可用数学符号表示为c = be mod m。由c的定义可得0 ≤ c < m。 例如，给定b = 5，e = 3和m = 13，53 = 125被13除得的余数c = 8。 指数e为负数时可使用扩展欧几里得算法找到b模除m的模逆元d来执行模幂运算，即： c = be mod m = d−e mod m，其中 e < 0且b ⋅ d ≡ 1 (mod m)。 即使在整数很大的情况下，上述模幂运算其实也是易于执行的。然而，计算模的离散对数（即在已知b，c和m时求出指数e）则较为困难。这种类似單向函數的表现使模幂运算可用于加密算法。
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En matemàtiques, més precisament en aritmètica modular, l'exponenciació modular és un tipus d'elevació a la potència (exponenciació) realitzada en mòdul un enter. Es fa servir en particular en informàtica, especialment en l'àmbit de la criptografia. Generalment, els problemes d'exponenciació modular prenen forma en una base donada b, un exponent e, un enter m. Es desitja calcular c tal que: Si b, e, i m són positius i b < m, llavors l'única solució c existeix amb . Per exemple, donats b = 5, e = 3, i m = 13, la solució c que funciona és 8.
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Modulární umocňování je umocňování prováděné v rámci modulární aritmetiky. Využívá se zejména v kryptografii a obecněji v informatice. Výsledkem modulárního mocnění je hodnota, která vznikne umocněním základu na exponent modulo přirozené číslo nazývané modul. Zapisuje se: . Tímto způsobem můžeme spočítat například , což je rovno 8. Pokud jsou přirozená čísla a , pak je řešení pro jednoznačné. Najít modulární mocninu lze snadno i pro záporný exponent. Stačí totiž spočítat inverzní prvek k základu pomocí Rozšířeného Eukleidova algoritmu a ten pak umocnit na absolutní hodnotu exponentu.
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La exponenciación modular es un tipo de exponenciación realizada sobre un módulo. Es particularmente útil en ciencias de la computación, especialmente en el campo de la criptografía. Una «exponenciación modular» calcula el residuo cuando un número entero positivo b (la base) se eleva a la e-ésima potencia (el exponente), be, y es dividido por el entero positivo m, llamado módulo. En notación matemática, dada la base b, el exponente e, y el módulo m, la exponenciación modular c se escribe: Por ejemplo, dado b = 5, e = 3, y m = 13, la solución, c = 8, es el resto de dividir por 13. donde y
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Die diskrete Exponentialfunktion (auch modulare Exponentiation oder modulares Potenzieren) liefert den Rest bei Division von durch . Die Umkehrung der diskreten Exponentialfunktion heißt diskreter Logarithmus. Die diskrete Exponentialfunktion ist auch für große Exponenten effizient berechenbar. Für die Umkehrung, also die Berechnung des Exponenten , bei gegebener Basis , Modul und gewünschtem Ergebnis, ist allerdings bis heute kein schneller Algorithmus bekannt. Die diskrete Exponentialfunktion wird daher als Einwegfunktion in asymmetrischen Kryptosystemen verwendet.
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Berreketa modularra modulu baten gainean egindako berreketa mota bat da. Konputazioaren zientzietan erabilgarria da, bereziki kriptografia asimetrikoaren arloan, non bai eta bai RSA sisteman erabiltzen den. Berreketa modularra a zenbaki oso bat (oinarria) n maila batez (berretzaileaz) berretzen denean eta m zenbaki oso positibo batez (moduluaz) zatitzen denean geratzen den hondarra da; hau da, c = an mod m. Zatiketaren definizioaz, 0 ≤ c < m. Adibidez, a = 4, n = 3 eta m = 11 emanda, 43 = 64 zati 11 egitean c = 9ko hondarra geratzen da. c = an mod m = d-n mod m, non e<0 eta a ⋅ d ≡ 1 (mod m).
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Modular exponentiation is exponentiation performed over a modulus. It is useful in computer science, especially in the field of public-key cryptography, where it is used in both Diffie-Hellman Key Exchange and RSA public/private keys. Modular exponentiation is the remainder when an integer b (the base) is raised to the power e (the exponent), and divided by a positive integer m (the modulus); that is, c = be mod m. From the definition of division, it follows that 0 ≤ c < m. For example, given b = 5, e = 3 and m = 13, dividing 53 = 125 by 13 leaves a remainder of c = 8.
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En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, l’exponentiation modulaire est un type d'élévation à la puissance (exponentiation) réalisée sur des entiers modulo un entier. Elle est particulièrement utilisée en informatique, spécialement dans le domaine de la cryptologie. Etant donnés une base b, un exposant e et un entier non nul m, l'exponentiation modulaire consiste à calculer c tel que : Par exemple, si b = 5, e = 3, et m = 13, le calcul de c donne 8.
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Возведение в степень по модулю — одна из операций над натуральными числами — возведение в степень, — выполняемая по модулю. Находит применение в информатике, особенно, в области криптографии с открытым ключом. Возведение в степень по модулю — это вычисление остатка от деления натурального числа a (основание), возведенного в степень n (показатель степени), на натуральное число m (модуль). Обозначается: Например, пусть нам даны a = 5, n = 3 и m = 13, тогда решение c = 8 — это остаток от деления на 13. Если a, n и m неотрицательны и a < m, то единственное решение c существует, причем 0 ⩽ c < m.
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Exponenciació modular
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Modulární umocňování
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Diskrete Exponentialfunktion
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Exponenciación modular
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Berreketa modular
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Exponentiation modulaire
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Modular exponentiation
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冪剰余
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Возведение в степень по модулю
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模幂
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En matemàtiques, més precisament en aritmètica modular, l'exponenciació modular és un tipus d'elevació a la potència (exponenciació) realitzada en mòdul un enter. Es fa servir en particular en informàtica, especialment en l'àmbit de la criptografia. Generalment, els problemes d'exponenciació modular prenen forma en una base donada b, un exponent e, un enter m. Es desitja calcular c tal que: Si b, e, i m són positius i b < m, llavors l'única solució c existeix amb . Per exemple, donats b = 5, e = 3, i m = 13, la solució c que funciona és 8. Els problemes d'exponenciació modular similars a l'exemple precedent es consideren fàcils de resoldre, fins i tot si els nombres en joc són enormes. En canvi, calcular el logaritme discret (a partir de b, trobar les dades c, e, i m) es reconeix com a difícil. Aquest comportament de fa l'exponenciació modular una bona candidata per a ser utilitzada en els algorismes de criptografia.
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Modulární umocňování je umocňování prováděné v rámci modulární aritmetiky. Využívá se zejména v kryptografii a obecněji v informatice. Výsledkem modulárního mocnění je hodnota, která vznikne umocněním základu na exponent modulo přirozené číslo nazývané modul. Zapisuje se: . Tímto způsobem můžeme spočítat například , což je rovno 8. Pokud jsou přirozená čísla a , pak je řešení pro jednoznačné. Najít modulární mocninu lze snadno i pro záporný exponent. Stačí totiž spočítat inverzní prvek k základu pomocí Rozšířeného Eukleidova algoritmu a ten pak umocnit na absolutní hodnotu exponentu. Zatímco umocňování na kladný nebo záporný exponent je snadné i pro poměrně velká čísla (jak ukazují algoritmy níže), inverzní funkce vzhledem k exponentu, totiž najít pro zadaná takové , které splňuje výše uvedenou rovnost, je velmi obtížně. Jedná se o takzvanou úlohu nalezení diskrétního logaritmu, jednu z typických jednosměrných funkcí používaných v moderní kryptografii.
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Die diskrete Exponentialfunktion (auch modulare Exponentiation oder modulares Potenzieren) liefert den Rest bei Division von durch . Die Umkehrung der diskreten Exponentialfunktion heißt diskreter Logarithmus. Die diskrete Exponentialfunktion ist auch für große Exponenten effizient berechenbar. Für die Umkehrung, also die Berechnung des Exponenten , bei gegebener Basis , Modul und gewünschtem Ergebnis, ist allerdings bis heute kein schneller Algorithmus bekannt. Die diskrete Exponentialfunktion wird daher als Einwegfunktion in asymmetrischen Kryptosystemen verwendet. Zur effizienten Berechnung der diskreten Exponentialfunktion kann der Satz von Euler und das Square & Multiply-Verfahren verwendet werden.
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La exponenciación modular es un tipo de exponenciación realizada sobre un módulo. Es particularmente útil en ciencias de la computación, especialmente en el campo de la criptografía. Una «exponenciación modular» calcula el residuo cuando un número entero positivo b (la base) se eleva a la e-ésima potencia (el exponente), be, y es dividido por el entero positivo m, llamado módulo. En notación matemática, dada la base b, el exponente e, y el módulo m, la exponenciación modular c se escribe: Por ejemplo, dado b = 5, e = 3, y m = 13, la solución, c = 8, es el resto de dividir por 13. Si b, e, y m no son negativos, y b < m, entonces una única solución c existe con la propiedad 0 ≤ c < m. La exponenciación modular se puede realizar con exponente negativo e encontrando el inverso multiplicativo modular d de b módulo m usando el algoritmo extendido de Euclides. Esto es: donde y Problemas de exponenciación modular similares al descrito arriba son considerados fáciles de resolver, incluso cuando los números que se manejan son enormes.Por otro lado, el cálculo del logaritmo discreto — es decir, la tarea de encontrar el exponente e si es dado un b, c, y m — es un problema de los considerados difíciles. Este comportamiento de función unidireccional hace a la exponenciación modular un candidato para su uso en algoritmos criptográficos.
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Berreketa modularra modulu baten gainean egindako berreketa mota bat da. Konputazioaren zientzietan erabilgarria da, bereziki kriptografia asimetrikoaren arloan, non bai eta bai RSA sisteman erabiltzen den. Berreketa modularra a zenbaki oso bat (oinarria) n maila batez (berretzaileaz) berretzen denean eta m zenbaki oso positibo batez (moduluaz) zatitzen denean geratzen den hondarra da; hau da, c = an mod m. Zatiketaren definizioaz, 0 ≤ c < m. Adibidez, a = 4, n = 3 eta m = 11 emanda, 43 = 64 zati 11 egitean c = 9ko hondarra geratzen da. Berreketa modularra n maila negatibo batekin egin daiteke a-ren d mod m biderketarekiko alderantzizko modularra aurkituz, erabiliz: c = an mod m = d-n mod m, non e<0 eta a ⋅ d ≡ 1 (mod m). Berreketa modularra konputatzeaz erraza da, oso zifra handietarako bada ere. Hala eta guztiz ere, modularra konputatzea, hau da, n berretzailea aurkitzea a, c eta m emanda, bzaila dela sinisten da. baten portaera honek algoritmo kriptografikoetan erabiltzeko hautagai bilakatzen du berreketa modularra.
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En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, l’exponentiation modulaire est un type d'élévation à la puissance (exponentiation) réalisée sur des entiers modulo un entier. Elle est particulièrement utilisée en informatique, spécialement dans le domaine de la cryptologie. Etant donnés une base b, un exposant e et un entier non nul m, l'exponentiation modulaire consiste à calculer c tel que : Par exemple, si b = 5, e = 3, et m = 13, le calcul de c donne 8. Calculer l'exponentiation modulaire est considéré comme facile, même lorsque les nombres en jeu sont énormes. Au contraire, calculer le logarithme discret (trouver e à partir de b, c et m) est reconnu comme difficile. Ce comportement de fonction à sens unique fait de l'exponentiation modulaire une bonne candidate pour être utilisée dans les algorithmes de cryptologie.
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Modular exponentiation is exponentiation performed over a modulus. It is useful in computer science, especially in the field of public-key cryptography, where it is used in both Diffie-Hellman Key Exchange and RSA public/private keys. Modular exponentiation is the remainder when an integer b (the base) is raised to the power e (the exponent), and divided by a positive integer m (the modulus); that is, c = be mod m. From the definition of division, it follows that 0 ≤ c < m. For example, given b = 5, e = 3 and m = 13, dividing 53 = 125 by 13 leaves a remainder of c = 8. Modular exponentiation can be performed with a negative exponent e by finding the modular multiplicative inverse d of b modulo m using the extended Euclidean algorithm. That is: c = be mod m = d−e mod m, where e < 0 and b ⋅ d ≡ 1 (mod m). Modular exponentiation is efficient to compute, even for very large integers. On the other hand, computing the modular discrete logarithm – that is, finding the exponent e when given b, c, and m – is believed to be difficult. This one-way function behavior makes modular exponentiation a candidate for use in cryptographic algorithms.
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冪剰余（べきじょうよ、英: modular exponentiation）とは、冪乗の剰余のことである。数論的に重要な概念であるとともに、計算機科学、特に暗号理論の分野での応用が重要である。冪乗剰余とも呼ばれる。 正の整数 b（底）の整数 e 乗（冪指数）を正の整数 m（法）で割った余りを、「m を法とする b の e-冪剰余」と呼ぶ。つまり、冪剰余を求めるとは、次の c を計算することにほかならない。 例えば、b = 5、e = 3、m = 13 の場合、c は 53 を 13 で割った余りであり、冪剰余は 8 となる。 冪指数 e = 2, 3 に対する e-冪剰余は、通常それぞれ平方剰余、立方剰余と呼ばれる。 冪剰余 c を求める計算は、たとえ巨大な数であっても難しくはない。一方、b, c, m が与えられたとき指数 e を求めることを考えると、これは Z/mZ の乗法群における離散対数問題と同値であり、一般に難しい。このような一方向性関数的性質から、冪剰余の暗号での利用についての研究が進んでいる。
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Возведение в степень по модулю — одна из операций над натуральными числами — возведение в степень, — выполняемая по модулю. Находит применение в информатике, особенно, в области криптографии с открытым ключом. Возведение в степень по модулю — это вычисление остатка от деления натурального числа a (основание), возведенного в степень n (показатель степени), на натуральное число m (модуль). Обозначается: Например, пусть нам даны a = 5, n = 3 и m = 13, тогда решение c = 8 — это остаток от деления на 13. Если a, n и m неотрицательны и a < m, то единственное решение c существует, причем 0 ⩽ c < m. Возведение в степень по модулю может быть выполнено и с отрицательным показателем степени n. Для этого необходимо найти число d, обратное числу a по модулю m. Это легко сделать с помощью алгоритма Евклида. Таким образом, , где n < 0 и Возвести в степень по модулю довольно легко, даже при больших входных значениях. А вот вычисление дискретного логарифма, то есть нахождение показателя степени n при заданных a, c и m, намного сложнее. Такое одностороннее поведение функции делает её кандидатом для использования в криптографических алгоритмах.
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模幂（英語：modular exponentiation）是一种对模进行的冪运算，在计算机科学，尤其是公开密钥加密方面有一定用途。 模幂运算是指求整数b的e次方be被正整数m所除得到的余数c的过程，可用数学符号表示为c = be mod m。由c的定义可得0 ≤ c < m。 例如，给定b = 5，e = 3和m = 13，53 = 125被13除得的余数c = 8。 指数e为负数时可使用扩展欧几里得算法找到b模除m的模逆元d来执行模幂运算，即： c = be mod m = d−e mod m，其中 e < 0且b ⋅ d ≡ 1 (mod m)。 即使在整数很大的情况下，上述模幂运算其实也是易于执行的。然而，计算模的离散对数（即在已知b，c和m时求出指数e）则较为困难。这种类似單向函數的表现使模幂运算可用于加密算法。
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20718