Minimal polynomial (linear algebra)
http://dbpedia.org/resource/Minimal_polynomial_(linear_algebra) an entity of type: Abstraction100002137
En álgebra lineal, el polinomio mínimo μA de una matriz A de dimensión (n × n) sobre un cuerpo F es el polinomio mónico P sobre F de menor grado tal que P(A) = 0. Cualquier otro polinomio Q con Q(A) = 0 es un (polinomio) múltiplo de μA.
rdf:langString
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice. Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.
rdf:langString
数学の線型代数学において、体 F 上の有限次元線形空間上の線形変換 T の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、T が零点（T で零行列）となる F-係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が 1）で次数が最小のもののことである。特に正方行列 A に対して定義される。 A の最小多項式を p(x) とすると、q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は、最小多項式 p(x) で割り切れる。 次の3つの主張は同値である： 1.
* λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。 2.
* λ ∈ F は、A の固有多項式の根である。 3.
* λ ∈ F は、A の固有値である。 A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。 一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、2In を考える（In は n次単位行列）。この行列の固有多項式は (x − 2)n である。一方、最小多項式は x − 2 である。従って、n ≥ 2 ならば、2In の最小多項式と固有多項式は一致しない。 ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。
rdf:langString
Минима́льный многочле́н ма́трицы — аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени.
rdf:langString
Minimalpolynom är för en kvadratisk matris A det moniska polynom P av lägst grad som satisfierar P(A) = 0.
rdf:langString
Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.
rdf:langString
线性代数中，一个n × n矩阵A在域F上的最小多项式P，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得P(A) = 0 。同時只要Q(A) = 0，那麼Q是P的倍数。 以下三个敘述等價： 1.
* λ 是 μA的根 2.
* λ 是A的特徵多項式的根 3.
* λ 是A的特徵值 因為μA是m次多項式，所以λ在μA上的重根數是不超過m 。這導致ker((A − λIn)m)ker((A − λIn)m−1) 。换句话说，将指数小於m時，增加指數会得到更大的内核；但指數大於m時，增加指数只会得到相同的内核。
rdf:langString
V lineární algebře se rozumí minimálním polynomem čtvercové matice řádu nad tělesem monický polynom co nejmenšího stupně takový, že . Každý jiný polynom splňující je pak násobkem polynomu . Pro minimální polynom a prvek jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1.
* je kořen 2.
* je kořen charakteristického polynomu matice 3.
* je vlastní číslo matice
rdf:langString
In linear algebra, the minimal polynomial μA of an n × n matrix A over a field F is the monic polynomial P over F of least degree such that P(A) = 0. Any other polynomial Q with Q(A) = 0 is a (polynomial) multiple of μA. The following three statements are equivalent: 1.
* λ is a root of μA, 2.
* λ is a root of the characteristic polynomial χA of A, 3.
* λ is an eigenvalue of matrix A. 1.
* P divides μA, 2.
* P divides χA, 3.
* the kernel of P(A) has dimension at least 1. 4.
* the kernel of P(A) has dimension at least deg(P).
rdf:langString
Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser en algèbre linéaire des résultats de la théorie des polynômes. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme. Il est défini comme le polynôme unitaire (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
rdf:langString
Wielomian minimalny macierzy kwadratowej – tej macierzy, tzn. stopnia najniższego względem o współczynniku jeden przy najwyższej potędze Równoważnie, dla przekształcenia liniowego zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian że (interpretując jako przekształcenie złożone ze sobą razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej gdzie jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz
rdf:langString
rdf:langString
Minimální polynom (lineární algebra)
rdf:langString
Polinomio mínimo de un endomorfismo
rdf:langString
Polinomio minimo
rdf:langString
Polynôme minimal d'un endomorphisme
rdf:langString
Minimal polynomial (linear algebra)
rdf:langString
最小多項式 (線型代数学)
rdf:langString
최소 다항식 (선형대수학)
rdf:langString
Wielomian minimalny
rdf:langString
Минимальный многочлен матрицы
rdf:langString
Minimalpolynom
rdf:langString
極小多項式 (線性代數)
rdf:langString
Мінімальний многочлен матриці
xsd:integer
9667107
xsd:integer
1069735119
rdf:langString
V lineární algebře se rozumí minimálním polynomem čtvercové matice řádu nad tělesem monický polynom co nejmenšího stupně takový, že . Každý jiný polynom splňující je pak násobkem polynomu . Pro minimální polynom a prvek jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1.
* je kořen 2.
* je kořen charakteristického polynomu matice 3.
* je vlastní číslo matice Z toho nevyplývá, že jsou minimální a charakteristický polynom vždy stejné. Například (čtyřnásobek jednotkové matice řádu ) má charakteristický polynom , ale minimální polynom (neboť ), tedy pro jsou v tomto případě charakteristický a minimální polynom různé.
rdf:langString
Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser en algèbre linéaire des résultats de la théorie des polynômes. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme. Il est défini comme le polynôme unitaire (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. Il est utilisé essentiellement en dimension finie, où il a un rôle important dans la réduction d'endomorphisme. Il dispose de propriétés fortes, dont la plus célèbre est probablement celle donnée par le théorème de Cayley-Hamilton. Il existe un cas particulier, utilisé dans le cadre de la théorie de Galois et la théorie algébrique des nombres, appelé polynôme minimal d'un nombre algébrique.
rdf:langString
En álgebra lineal, el polinomio mínimo μA de una matriz A de dimensión (n × n) sobre un cuerpo F es el polinomio mónico P sobre F de menor grado tal que P(A) = 0. Cualquier otro polinomio Q con Q(A) = 0 es un (polinomio) múltiplo de μA.
rdf:langString
In linear algebra, the minimal polynomial μA of an n × n matrix A over a field F is the monic polynomial P over F of least degree such that P(A) = 0. Any other polynomial Q with Q(A) = 0 is a (polynomial) multiple of μA. The following three statements are equivalent: 1.
* λ is a root of μA, 2.
* λ is a root of the characteristic polynomial χA of A, 3.
* λ is an eigenvalue of matrix A. The multiplicity of a root λ of μA is the largest power m such that ker((A − λIn)m) strictly contains ker((A − λIn)m−1). In other words, increasing the exponent up to m will give ever larger kernels, but further increasing the exponent beyond m will just give the same kernel. If the field F is not algebraically closed, then the minimal and characteristic polynomials need not factor according to their roots (in F) alone, in other words they may have irreducible polynomial factors of degree greater than 1. For irreducible polynomials P one has similar equivalences: 1.
* P divides μA, 2.
* P divides χA, 3.
* the kernel of P(A) has dimension at least 1. 4.
* the kernel of P(A) has dimension at least deg(P). Like the characteristic polynomial, the minimal polynomial does not depend on the base field. In other words, considering the matrix as one with coefficients in a larger field does not change the minimal polynomial. The reason is somewhat different from for the characteristic polynomial (where it is immediate from the definition of determinants), namely the fact that the minimal polynomial is determined by the relations of linear dependence between the powers of A: extending the base field will not introduce any new such relations (nor of course will it remove existing ones). The minimal polynomial is often the same as the characteristic polynomial, but not always. For example, if A is a multiple aIn of the identity matrix, then its minimal polynomial is X − a since the kernel of aIn − A = 0 is already the entire space; on the other hand its characteristic polynomial is (X − a)n (the only eigenvalue is a, and the degree of the characteristic polynomial is always equal to the dimension of the space). The minimal polynomial always divides the characteristic polynomial, which is one way of formulating the Cayley–Hamilton theorem (for the case of matrices over a field).
rdf:langString
In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il polinomio minimo di una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale o di una matrice quadrata è il polinomio monico di grado minore fra tutti quelli che annullano la trasformazione o matrice. Il polinomio minimo è utile per determinare la diagonalizzabilità e la forma canonica di Jordan della trasformazione o matrice.
rdf:langString
数学の線型代数学において、体 F 上の有限次元線形空間上の線形変換 T の最小多項式（さいしょうたこうしき、英: minimal polynomial）とは、T が零点（T で零行列）となる F-係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が 1）で次数が最小のもののことである。特に正方行列 A に対して定義される。 A の最小多項式を p(x) とすると、q(A) = 0 となる F-係数多項式 q(x) は、最小多項式 p(x) で割り切れる。 次の3つの主張は同値である： 1.
* λ ∈ F は、A の最小多項式 p(x) の根である。 2.
* λ ∈ F は、A の固有多項式の根である。 3.
* λ ∈ F は、A の固有値である。 A の最小多項式 p(x) における根 λ の重複度は、λ に対応する A のジョルダン細胞の最大次数を表す。 一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、2In を考える（In は n次単位行列）。この行列の固有多項式は (x − 2)n である。一方、最小多項式は x − 2 である。従って、n ≥ 2 ならば、2In の最小多項式と固有多項式は一致しない。 ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。
rdf:langString
Минима́льный многочле́н ма́трицы — аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени.
rdf:langString
Minimalpolynom är för en kvadratisk matris A det moniska polynom P av lägst grad som satisfierar P(A) = 0.
rdf:langString
Wielomian minimalny macierzy kwadratowej – tej macierzy, tzn. stopnia najniższego względem o współczynniku jeden przy najwyższej potędze Równoważnie, dla przekształcenia liniowego zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian że (interpretując jako przekształcenie złożone ze sobą razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej Wielomian minimalny macierzy jest związany z wielomianem charakterystycznym następującą zależnością: przy czym jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej gdzie jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.
rdf:langString
Мінімальний многочлен матриці A розмірності n×n над полем F — многочлен p(x) над полем F, такий, що p(A)=0, старший коефіцієнт якого рівний 1 і степінь якого мінімальна серед таких многочленів. Для довільної матриці такий многочлен існує і є єдиним.
rdf:langString
线性代数中，一个n × n矩阵A在域F上的最小多项式P，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得P(A) = 0 。同時只要Q(A) = 0，那麼Q是P的倍数。 以下三个敘述等價： 1.
* λ 是 μA的根 2.
* λ 是A的特徵多項式的根 3.
* λ 是A的特徵值 因為μA是m次多項式，所以λ在μA上的重根數是不超過m 。這導致ker((A − λIn)m)ker((A − λIn)m−1) 。换句话说，将指数小於m時，增加指數会得到更大的内核；但指數大於m時，增加指数只会得到相同的内核。
xsd:nonNegativeInteger
11120