Method of exhaustion
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طريقة الاستنفاد (بالإنجليزية: Method of exhaustion) هي طريقة لحساب مساحة شكل ما، عن طريق تأطير قيمة المساحة بمساحة مضلعات أو محاطة بالشكل. عمليا، كلما كبر عدد الأضلاع، صار بالإمكان الاقتراب من المساحة الحقيقية أكثر. وبذلك يُحصل على تقريب لمساحة الشكل عندما «نستنفد» كل القيم الممكنة بدقة معينة (مثلا: رقمين بعد الفاصلة). نفس المنهاج ينطبق على حساب طول منحنا ما (أو حجم شكل ما) عبر تقريبه بطول خط منكسر (أو بحجم شكل متعدد الأوجه)
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Exhauzio-metodoa prozedura geometriko-matematiko bat da kalkulatu nahi den zerbaiten emaitzara hurbiltzeko, horrela, kalkulua aurrera egin ahala, doitasuna handitzen doa.
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El método por agotamiento es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. Fue creado por Eudoxo de Cnido, conocido por su teoría de las proporciones y teoremas sobre ella. También se conoce como:
* método por agotamiento,
* método de exhausción o
* método de exhaución.
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Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.
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取り尽くし法（とりつくしほう、英: method of exhaustion、羅: methodus exaustionibus）は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収束させる方法である。積尽法、搾出法ともいう。また古代人の方法（仏: méthode des anciens）とも呼ばれる。
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Метод вичерпування (лат. methodus exaustionibus) — античний метод для дослідження площі чи об'єму криволінійних фігур. Ідею методу, в не дуже ясних формулюваннях, висловив ще Антіфон, а розробку і застосування здійснив Евдокс Кнідський. Обґрунтування цього методу не спирається на поняття нескінченно малих величин, але неявно включає поняття границі. Назву «метод вичерпування» запропонував у 1647 році Грегуар де Сен-Венсан, в античні часи у методу не було спеціальної назви.
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穷竭法 (英語：Method of exhaustion; 拉丁語：methodus exhaustionibus)，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。如果这个多边形序列构造得当，那么其第n项的面积与所求图形面积之差在n足够大时便可以小于任意给定正数。因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。 穷竭法在应用时一般须诉诸归谬法，后者是反证法的一种形式。具体来说就是，为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪，接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。
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El mètode d'exhaustió és un mètode per a trobar l'àrea d'una superfície plana limitada per una corba a base d'inscriure-li una successió de polígons les àrees dels quals convergeixen cap a l'àrea de la superfície que els conté. Si la successió es construeix correctament, la diferència en àrea entre el polígon n-èsim i la superfície que el conté esdevindrà arbitràriament petita a mesura que n esdevé gran. Com que aquesta diferència esdevé arbitràriament petita, els valors possibles per a l'àrea de la superfície són sistemàticament "exhaurits" per les fites inferiors que queden establertes pels membres de la successió. La idea original va ser d'Antifont, tot i que no està del tot clar fins a quin punt la va entendre. Èudox de Cnidos és qui va plantejar la teoria de forma rigorosa. El primer
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Η μέθοδος της εξάντλησης (λατινικά: Methodus exhaustionibus; γαλλικά: Μéthode des anciens) είναι μια μέθοδος εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος εγγράφοντας μέσα του μια ακολουθία πολυγώνων των οποίων οι περιοχές συγκλίνουν στην περιοχή του περιέχοντος σχήματος. Εάν η ακολουθία είναι σωστά κατασκευασμένη, η διαφορά στην περιοχή μεταξύ του vιοστού πολύγωνου και του περιέχοντος σχήματος θα γίνει αυθαίρετα μικρή (τείνει στο μηδέν), καθώς το n γίνεται μεγάλο (τείνει στο άπειρο). Καθώς αυτή η διαφορά γίνεται αυθαίρετα μικρή, οι πιθανές τιμές για την περιοχή του σχήματος "εξαντλούνται" συστηματικά από τις κατώτερες οριοθετημένες περιοχές που διαμορφώνονται διαδοχικά από τα μέλη της ακολουθίας.
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Die Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. „herausnehmen“, „erschöpfen“, „vollenden“) ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren könne, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig „erschöpft“ sei.
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The method of exhaustion (Latin: methodus exhaustionibus; French: méthode des anciens) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the nth polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members.
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En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe.
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Dalam matematika, metode penghabis (Latin: methodus exhaustionibus) adalah suatu cara kuno untung menghitung luas, volume, dan panjang dari bentuk geometri melengkung, seperti lingkaran. Gagasan tentang metode ini mulanya dicetuskan oleh Antifon, namun pengembangan dan penerapannya dilakukan oleh Eudoksos dari Knidos
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De uitputtingsmethode (Latijn: methodus exhaustionibus, Engels: method of exhaustion), ook wel de uitputtingsmethode van Eudoxus genoemd, is een methode om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen. Tegenwoordig wordt de uitputtingsmethode van Eudoxus wel gezien als een voorloper van de integraalrekening, waarbij het oppervlak onder een kromme wordt bepaald door de kromme in oneindig veel stukjes op te delen.
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Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury. Choć rozwój rachunku różniczkowego wyparł metodę z użycia, pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie w matematycznej teorii miary, np. przy obliczaniu miary Lebesgue’a oraz całki Lebesgue’a.
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O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com , apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso
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Метод исчерпывания (лат. methodus exhaustionis) — античный математический метод, предназначенный для исследования площадей криволинейных геометрических фигур или объёмов геометрических тел.Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский.
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طريقة استنفاد
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Mètode d'exhaustió
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Exhaustionsmethode
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Μέθοδος της εξάντλησης
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Método por agotamiento
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Metode penghabis
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Metoda wyczerpywania
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El mètode d'exhaustió és un mètode per a trobar l'àrea d'una superfície plana limitada per una corba a base d'inscriure-li una successió de polígons les àrees dels quals convergeixen cap a l'àrea de la superfície que els conté. Si la successió es construeix correctament, la diferència en àrea entre el polígon n-èsim i la superfície que el conté esdevindrà arbitràriament petita a mesura que n esdevé gran. Com que aquesta diferència esdevé arbitràriament petita, els valors possibles per a l'àrea de la superfície són sistemàticament "exhaurits" per les fites inferiors que queden establertes pels membres de la successió. La idea original va ser d'Antifont, tot i que no està del tot clar fins a quin punt la va entendre. Èudox de Cnidos és qui va plantejar la teoria de forma rigorosa. El primer que va utilitzar l'expressió "mètode d'exhaustió" va ser Grégoire de Saint-Vincent a Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni el 1647. El mètode d'exhaustió s'ha vist com un precursor dels mètodes del càlcul infinitesimal. El desenvolupament de la geometria analítica i del càlcul integral entre els segles XVII i XIX (en particular la definició rigorosa del límit) han susumit el mètode d'exhaustió de forma que actualment no es fa servir de forma explícita per a la resolució de problemes. Arquímedes va emprar el mètode d'exhaustió com una forma de calcular π a base d'omplir el cercle amb polígons amb un nombre més i més gran de costats. El quocient de l'àrea d'aquests polígons dividida entre el quadrat del radi del cercle esdevé arbitràriament proper al valor real de π a mesura que el nombre de cares del polígon es fa gran. Altres resultats obtinguts amb el mètode d'exhaustió inclouen
* L'àrea limitada per una recta i una paràbola és 4/3 de la del triangle de la mateixa base i alçada;
* L'àrea d'una el·lipse és proporcional a la del rectangle de cares iguals als eixos de l'el·lipse;
* El volum d'una esfera és 4 cops el del con amb el mateix radi de la base i alçada igual al radi;
* El volum d'un cilindre d'alçada igual al diàmetre és 3/2 del de l'esfera del mateix diàmetre;
* L'àrea limitada per una espiral i un segment recte és 1/3 de la del cercle que té un radi igual a la longitud del segment;
* La utilització del mètode d'exhaustió també va portar (per primer cop) a l'avaluació amb èxit d'una sèrie geomètrica. Una nova forma del mètode d'exhaustió subministra una fórmula per avaluar una integral definida de qualsevol funció contínua: Pot ser útil emprar aquesta fórmula quan no existeixen primitives elementals. També pot ser útil en l'ensenyament del càlcul integral.
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طريقة الاستنفاد (بالإنجليزية: Method of exhaustion) هي طريقة لحساب مساحة شكل ما، عن طريق تأطير قيمة المساحة بمساحة مضلعات أو محاطة بالشكل. عمليا، كلما كبر عدد الأضلاع، صار بالإمكان الاقتراب من المساحة الحقيقية أكثر. وبذلك يُحصل على تقريب لمساحة الشكل عندما «نستنفد» كل القيم الممكنة بدقة معينة (مثلا: رقمين بعد الفاصلة). نفس المنهاج ينطبق على حساب طول منحنا ما (أو حجم شكل ما) عبر تقريبه بطول خط منكسر (أو بحجم شكل متعدد الأوجه)
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Η μέθοδος της εξάντλησης (λατινικά: Methodus exhaustionibus; γαλλικά: Μéthode des anciens) είναι μια μέθοδος εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος εγγράφοντας μέσα του μια ακολουθία πολυγώνων των οποίων οι περιοχές συγκλίνουν στην περιοχή του περιέχοντος σχήματος. Εάν η ακολουθία είναι σωστά κατασκευασμένη, η διαφορά στην περιοχή μεταξύ του vιοστού πολύγωνου και του περιέχοντος σχήματος θα γίνει αυθαίρετα μικρή (τείνει στο μηδέν), καθώς το n γίνεται μεγάλο (τείνει στο άπειρο). Καθώς αυτή η διαφορά γίνεται αυθαίρετα μικρή, οι πιθανές τιμές για την περιοχή του σχήματος "εξαντλούνται" συστηματικά από τις κατώτερες οριοθετημένες περιοχές που διαμορφώνονται διαδοχικά από τα μέλη της ακολουθίας. Η μέθοδος της εξάντλησης απαιτούσε τυπικά μια μορφή απόδειξης με αντίφαση, γνωστή ως εις άτοπον απαγωγή (λατινικά: reductio ad absurdum). Αυτό ισοδυναμεί με εύρεση μιας εμβαδικής περιοχής μιας περιοχής, συγκρίνοντάς την πρώτα με την περιοχή μιας δεύτερης περιοχής (η οποία μπορεί να "εξαντληθεί" έτσι ώστε η περιοχή της να γίνει αυθαίρετα κοντά στην πραγματική περιοχή). Η απόδειξη περιλαμβάνει την παραδοχή ότι η πραγματική περιοχή είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη περιοχή, και στη συνέχεια την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού ψευδούς, και στη συνέχεια την παραδοχή ότι είναι μικρότερη από τη δεύτερη περιοχή, και την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού επίσης ψευδούς.
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Die Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. „herausnehmen“, „erschöpfen“, „vollenden“) ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren könne, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig „erschöpft“ sei. Mit dieser Idee entwickelte Eudoxos von Knidos die Exhaustionsmethode und berechnete so das Volumen einer Pyramide und eines Kegels. Der griechische Gelehrte Archimedes (287–212 v. Chr.) griff dieses Verfahren 260 v. Chr. auf und berechnete so, mittels eines 96-Ecks, die Abschätzung und den Flächeninhalt unter einer Parabel. Das Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert ein wichtiges Integrationsverfahren. Ludolph van Ceulen führte den Ansatz Archimedes' bis zum -Eck im Kreis fort und konnte Pi in 30-jähriger Rechenarbeit so bis auf 35 Stellen berechnen.
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Exhauzio-metodoa prozedura geometriko-matematiko bat da kalkulatu nahi den zerbaiten emaitzara hurbiltzeko, horrela, kalkulua aurrera egin ahala, doitasuna handitzen doa.
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El método por agotamiento es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. Fue creado por Eudoxo de Cnido, conocido por su teoría de las proporciones y teoremas sobre ella. También se conoce como:
* método por agotamiento,
* método de exhausción o
* método de exhaución.
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En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe. Dans le cas du calcul de l'aire A d'une figure plane, la méthode d'exhaustion consiste en un double raisonnement par l'absurde : on suppose que son aire est strictement supérieure à A, puis on aboutit à une contradiction ; on suppose ensuite que son aire est strictement inférieure à A, puis on aboutit à une autre contradiction. On parvient ainsi à montrer que l'aire de la figure est A.
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The method of exhaustion (Latin: methodus exhaustionibus; French: méthode des anciens) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the nth polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members. The method of exhaustion typically required a form of proof by contradiction, known as reductio ad absurdum. This amounts to finding an area of a region by first comparing it to the area of a second region, which can be "exhausted" so that its area becomes arbitrarily close to the true area. The proof involves assuming that the true area is greater than the second area, proving that assertion false, assuming it is less than the second area, then proving that assertion false, too.
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Dalam matematika, metode penghabis (Latin: methodus exhaustionibus) adalah suatu cara kuno untung menghitung luas, volume, dan panjang dari bentuk geometri melengkung, seperti lingkaran. Gagasan tentang metode ini mulanya dicetuskan oleh Antifon, namun pengembangan dan penerapannya dilakukan oleh Eudoksos dari Knidos Istilah "metode penghabis" mula digunakan oleh Grégoire de Saint-Vincent di tahun 1647, yang mana sebelumnya metode ini tidak dinamai khusus. Metode penghabis secara implisit telah menggunakan konsep limit. Penyempurnaan metode penghabis kemudiannya mengarah pada kalkulus integral.
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Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.
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取り尽くし法（とりつくしほう、英: method of exhaustion、羅: methodus exaustionibus）は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収束させる方法である。積尽法、搾出法ともいう。また古代人の方法（仏: méthode des anciens）とも呼ばれる。
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De uitputtingsmethode (Latijn: methodus exhaustionibus, Engels: method of exhaustion), ook wel de uitputtingsmethode van Eudoxus genoemd, is een methode om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen. De methode is in het oude Griekenland bedacht door Antiphon van Rhamnus en werd nauwkeurig beschreven door Eudoxus van Cnidus. De methode maakt gebruik van het feit dat bekend was dat de oppervlakte van elke veelhoek bepaald kan worden door de veelhoek in driehoeken onder te verdelen. De oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel kan benaderd worden door de grootste veelhoek te nemen die binnen de cirkel past. Naarmate een veelhoek wordt gekozen met steeds meer hoekpunten, zal de oppervlakte van de veelhoek steeds dichter in de buurt komen van de oppervlakte van de cirkel. De limiet van de oppervlakte van de veelhoek, waarbij het aantal hoeken naar oneindig gaat, is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. Op een vergelijkbare manier kan het volume van een driedimensionaal figuur zoals een bol of een kegel gevonden worden, door het grootste veelvlak te nemen dat in de driedimensionale figuur past en het aantal vlakken van het veelvlak naar oneindig te laten gaan. Eudoxus gebruikte de uitputtingsmethode om onder andere te bewijzen dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met het kwadraat van zijn diameter en dat het volume van een kegel gelijk is aan een derde deel van het volume van een cilinder met een gelijk en gelijke hoogte. Archimedes gebruikte de uitputtingsmethode om te bepalen dat de waarde voor π, de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter, moet liggen tussen 223/71 en 22/7. Hiervoor berekende hij het oppervlak van een regelmatige 96-hoek die precies in de cirkel past (voor de ondergrens) en een regelmatige 96-hoek waar de cirkel precies in past (voor de bovengrens). Tegenwoordig wordt de uitputtingsmethode van Eudoxus wel gezien als een voorloper van de integraalrekening, waarbij het oppervlak onder een kromme wordt bepaald door de kromme in oneindig veel stukjes op te delen.
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O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com , apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua , para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Grégoire de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647. O método da exaustão tipicamente requeria uma forma de prova por contradição, conhecida por reductio ad absurdum. Isso se resume a encontrar a área de uma região primeiro comparando-a à área de uma segunda região (que podia ser "exaurida" de forma que se aproximasse da verdadeira área). A prova requer que se assuma que a área verdadeira seja maior que a segunda área e então provar que aquele suposição é falsa então assumindo que a verdadeira área é menor que a segunda em seguida provando que essa asserção também é falsa. Esse tipo de prova é de forma que a resposta deve ser conhecida de antemão. O método da exaustão é visto como precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigorosos nos séculos XVII-XIX (em particular uma definição rigorosa de limite) incorporou o método da exaustão, de forma que ele não é mais usado explicitamente para resolver problemas. Arquimedes usou o método para calcular uma aproximação de π, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser feito arbitrariamente próximo do real valor de π a medida que se aumenta o número de lados do polígono. Outros resultados que ele obteve com o método da exaustão incluem:
* A área delimitada pela intersecção de uma linha e uma parábola é 4/3 da área do triângulo que tem a mesma base e altura;
* A área de uma elipse é proporcional à de um retângulo que tem lados iguais aos seus eixos;
* O volume de uma esfera é 4 vezes o de um cone de base e altura iguais ao seu raio;
* O volume de um cilindro equiláteo (de altura igual ao diâmetro) é 3/2 do de uma esfera com o mesmo diâmetro;
* A área delimitada por uma rotação espiral de uma reta é 1/3 da área de um círculo de raio igual ao comprimento da reta;
* O uso do método da exaustão também levou à primeira avaliação bem sucedida de séries geométricas. Uma nova forma do método da exaustão prevê uma fórmula para avaliar a integral definida de qualquer função contínua: Essa fórmula pode ser útil quando nenhuma antiderivada elementar existe. Também pode ser útil para ensinar cálculo integral.
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Метод исчерпывания (лат. methodus exhaustionis) — античный математический метод, предназначенный для исследования площадей криволинейных геометрических фигур или объёмов геометрических тел.Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было особого названия.Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела.Уточнение метода исчерпывания привело впоследствии к интегральному исчислению.
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Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury. Zastosowanie metody wyczerpywania wymaga zazwyczaj zastosowania rodzaju dowodu nie wprost (łac. reductio ad absurdum). Polega on na tym, że pole powierzchni części figury znajduje się za pomocą porównania z polem powierzchni innej części drogą kolejnych przybliżeń (aż do momentu, w którym różnica między oboma polami staje się pomijalna). Następnie należy założyć, że powierzchnia sprawdzanej figury jest większa niż suma powierzchni wpisanych figur i dowieść błędności takiego założenia, a następnie dowieść błędności założenia przeciwnego, że pole badanej figury jest mniejsze niż suma pól figur wpisanych. Choć rozwój rachunku różniczkowego wyparł metodę z użycia, pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie w matematycznej teorii miary, np. przy obliczaniu miary Lebesgue’a oraz całki Lebesgue’a.
rdf:langString
Метод вичерпування (лат. methodus exaustionibus) — античний метод для дослідження площі чи об'єму криволінійних фігур. Ідею методу, в не дуже ясних формулюваннях, висловив ще Антіфон, а розробку і застосування здійснив Евдокс Кнідський. Обґрунтування цього методу не спирається на поняття нескінченно малих величин, але неявно включає поняття границі. Назву «метод вичерпування» запропонував у 1647 році Грегуар де Сен-Венсан, в античні часи у методу не було спеціальної назви.
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穷竭法 (英語：Method of exhaustion; 拉丁語：methodus exhaustionibus)，有时被误译为“穷举法”，是一种求图形面积的方法，其通过构造一个多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。如果这个多边形序列构造得当，那么其第n项的面积与所求图形面积之差在n足够大时便可以小于任意给定正数。因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界“穷竭”掉了。 穷竭法在应用时一般须诉诸归谬法，后者是反证法的一种形式。具体来说就是，为了求某图形面积，而将其与第二个图形（该图形可以作“穷竭”式的变形，而使其面积任意接近所求面积）来作比较。证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪，接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。
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