Measure theory
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Mezurteorio aŭ mezuro-teorio estas fako de matematiko, kiu esploras ecojn de mezuro. En mezurteorio oni konsideras:
* mezuron de aroj da punktoj de Eŭklida spaco kaj de ĝiaj ĝeneraligoj;
* mezuron de aroj da hazardaj eventoj. La mezurteorio formiĝis en 1902. Ĝi havis grandan influon al disvolvo de analitiko kaj probablo-teorio.
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La théorie de la mesure est la branche des mathématiques qui traite des espaces mesurés et est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités.
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測度論（そくどろん、英: measure theory）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。ここで測度（そくど、英: measure）とは面積、体積、といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分（厳密にはルベーグ積分）も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、確率論や統計学においても測度論は重要である。たとえば「サイコロの目が偶数になる確率」は目が 1, ..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っているため、測度の概念で記述できる。
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A teoria da medida é um ramo da matemática iniciado pelos trabalhos de Émile Borel, mas muito desenvolvido por matemáticos como Henri Lebesgue e Constantin Carathéodory. O problema da teoria da medida se divide basicamente em duas partes:
* Definir uma medida que associe a cada conjunto de uma família em um dado espaço um valor significativo do seu tamanho.
* Definir uma teoria de integração para as funções que tomam valores neste espaço.
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En matemàtiques el concepte de mesura generalitza nocions com ara "longitud", "àrea", i "volum" (tot i que no totes les aplicacions de les mesures tenen a veure amb mides físiques). De manera informal, donat un conjunt base, una "mesura" és una assignació consistent de "grandàries" als subconjunts del conjunt base. Depenent de com es faci aquesta assignació, la "mida" d'un subconjunt es pot interpretar, per exemple, com: la seva mida física, la quantitat de quelcom que està dins del subconjunt, o la probabilitat que algun procés aleatori doni un resultat que pertanyi al subconjunt. Les mesures es fan servir principalment per a definir el concepte general d'integració sobre dominis amb estructura més complexa que els intervals de la recta real (Integral de Lebesgue). Aquestes integrals es f
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Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu velikosti (délky, plochy a objemu, případně kvantity). Teorie míry zobecňuje uvedené pojmy na složitější množiny, než jsou „normální množiny bodů“ v prostoru, kterým lze přiřadit velikost. Má úzkou souvislost s a teorií pravděpodobnosti. Lebesgueova integrace je teoretickým základem integrálního počtu, ale i teorie pravděpodobnosti. Například díky teorii míry lze střední hodnotu náhodné veličiny chápat jako integrál určité měřitelné funkce.
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Η θεωρία μέτρου στα μαθηματικά περιλαμβάνει την αυστηρή αξιωματική θεμελίωση και επίσης τη γενίκευση των εννοιών του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Οι εφαρμογές επεκτείνονται και σε άλλες, πέρα από τις γεωμετρικές, έννοιες του μέτρου. Σε απλουστευμένη αλλά αδόκιμη ορολογία, για δεδομένο σύνολο S ονομάζουμε "μέτρο" οποιαδήποτε διαδικασία ή κανόνα αποδίδει ένα "μέγεθος" σε κάθε ένα υποσύνολο του S κατά συνεπή (δηλ. χωρίς αντιφάσεις) τρόπο.
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Die Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt. Es geht dabei um Verallgemeinerungen elementargeometrischer Begriffe wie Streckenlänge, Flächeninhalt und Volumen auf kompliziertere Mengen. Die Maßtheorie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.
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Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) – dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki. Za początek tej dziedziny uważa się rok 1902, gdy Henri Lebesgue podał konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary.
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De maattheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de elementaire begrippen van maat (lengte, oppervlakte en volume) veralgemeniseert, zodat ook aan ingewikkelder verzamelingen dan die van 'gewone' punten in een ruimte een maat kan worden toegekend. In de maattheorie is de Lebesgue-integratie de theoretische basis voor de kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheorie de verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als de integraal van een meetbare functie.
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Measure theory
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Teoria de la mesura
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Teorie míry
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Maßtheorie
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Θεωρία μέτρου
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Mezurteorio
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Théorie de la mesure
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測度論
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Teoria miary
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Maattheorie
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Teoria da medida
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Теория меры
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En matemàtiques el concepte de mesura generalitza nocions com ara "longitud", "àrea", i "volum" (tot i que no totes les aplicacions de les mesures tenen a veure amb mides físiques). De manera informal, donat un conjunt base, una "mesura" és una assignació consistent de "grandàries" als subconjunts del conjunt base. Depenent de com es faci aquesta assignació, la "mida" d'un subconjunt es pot interpretar, per exemple, com: la seva mida física, la quantitat de quelcom que està dins del subconjunt, o la probabilitat que algun procés aleatori doni un resultat que pertanyi al subconjunt. Les mesures es fan servir principalment per a definir el concepte general d'integració sobre dominis amb estructura més complexa que els intervals de la recta real (Integral de Lebesgue). Aquestes integrals es fan servir a bastament en teoria de la probabilitat i en anàlisi matemàtica. Sovint no és possible, o no és desitjable, assignar mida a tots els subconjunts del conjunt base, per tant, no cal que la mesura ho faci. Hi ha certes condicions de consistència que determinen a quines combinacions de subconjunts se'ls pot assignar mida a través d'una mesura; aquestes condicions determinen el concepte de σ-àlgebra. En topologia diferencial, es fa servir més sovint el concepte de forma de volum que està directament relacionat amb el de mesura. La teoria de la mesura és una branca de l'anàlisi matemàtica (no de la metrologia) que estudia les σ-àlgebres, les mesures, les funcions mesurables i les integrals.
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Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu velikosti (délky, plochy a objemu, případně kvantity). Teorie míry zobecňuje uvedené pojmy na složitější množiny, než jsou „normální množiny bodů“ v prostoru, kterým lze přiřadit velikost. Má úzkou souvislost s a teorií pravděpodobnosti. Lebesgueova integrace je teoretickým základem integrálního počtu, ale i teorie pravděpodobnosti. Například díky teorii míry lze střední hodnotu náhodné veličiny chápat jako integrál určité měřitelné funkce. Výchozím bodem je přesné vymezení oblasti studia na základě axiomatické teorie množin. Banachův-Tarského paradox ukazuje, jaké nebezpečí hrozí, pokud vyjdeme z naivního pojetí „velikosti množiny“; z rozumně vypadajících předpokladů je možné dospět k tak paradoxním tvrzením, jako že všechna tělesa mají stejný objem.
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Η θεωρία μέτρου στα μαθηματικά περιλαμβάνει την αυστηρή αξιωματική θεμελίωση και επίσης τη γενίκευση των εννοιών του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Οι εφαρμογές επεκτείνονται και σε άλλες, πέρα από τις γεωμετρικές, έννοιες του μέτρου. Σε απλουστευμένη αλλά αδόκιμη ορολογία, για δεδομένο σύνολο S ονομάζουμε "μέτρο" οποιαδήποτε διαδικασία ή κανόνα αποδίδει ένα "μέγεθος" σε κάθε ένα υποσύνολο του S κατά συνεπή (δηλ. χωρίς αντιφάσεις) τρόπο. Ο ακριβής μαθηματικός ορισμός του όρου "μέτρο" μοιάζει δυσνόητος (προϋποθέτοντας έννοιες όπως και σ-άλγεβρα) αλλά είναι εξαιρετικά σημαντικός για τη θεμελίωση, μεταξύ άλλων, βασικών εννοιών της ανάλυσης και του απειροστικού λογισμού. Σημαντικά παραδείγματα είναι το , το , το μέτρο πιθανότητας και άλλα. Ο χώρος μέτρου (measure space) δεν θα πρέπει να συγχέεται με το μετρικό χώρο (metric space). Οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές. Για παράδειγμα στον ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το μέτρο Lebesgue ορίζει το χώρο μέτρου κατά τον οποίο αποδίδεται όγκος στα υποσύνολα του , ενώ η ευκλείδεια μετρική ορίζει το μετρικό χώρο που μετράει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του .
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Mezurteorio aŭ mezuro-teorio estas fako de matematiko, kiu esploras ecojn de mezuro. En mezurteorio oni konsideras:
* mezuron de aroj da punktoj de Eŭklida spaco kaj de ĝiaj ĝeneraligoj;
* mezuron de aroj da hazardaj eventoj. La mezurteorio formiĝis en 1902. Ĝi havis grandan influon al disvolvo de analitiko kaj probablo-teorio.
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Die Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt. Es geht dabei um Verallgemeinerungen elementargeometrischer Begriffe wie Streckenlänge, Flächeninhalt und Volumen auf kompliziertere Mengen. Die Maßtheorie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Als Maß wird in der Maßtheorie eine Abbildung verstanden, die gewissen Teilmengen einer Grundmenge reelle Zahlen zuordnet. Die Teilmengen müssen dazu ein Mengensystem mit bestimmten Eigenschaften bilden und auch die Zuordnung selbst muss gewisse Voraussetzungen erfüllen. In der Praxis ist häufig nur eine partielle Zuordnung von vornherein bekannt. Zum Beispiel ordnet man in der Ebene Rechtecken das Produkt ihrer Kantenlängen als Flächeninhalt zu. Die Maßtheorie untersucht nun einerseits, ob sich in konsistenter Weise und eindeutig diese Zuordnung auf größere Teilmengensysteme erweitern lässt, und andererseits, ob dabei zusätzliche gewünschte Eigenschaften erhalten bleiben. Im Beispiel der Ebene möchte man natürlich auch Kreisscheiben einen sinnvollen Flächeninhalt zuordnen und man wird gleichzeitig neben den Eigenschaften, die man von Maßen ganz allgemein verlangt, auch Translationsinvarianz fordern, das heißt, der Inhalt einer Teilmenge der Ebene ist unabhängig von ihrer Position.
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La théorie de la mesure est la branche des mathématiques qui traite des espaces mesurés et est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités.
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測度論（そくどろん、英: measure theory）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。ここで測度（そくど、英: measure）とは面積、体積、といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分（厳密にはルベーグ積分）も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、確率論や統計学においても測度論は重要である。たとえば「サイコロの目が偶数になる確率」は目が 1, ..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っているため、測度の概念で記述できる。
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De maattheorie is het deelgebied van de wiskunde dat de elementaire begrippen van maat (lengte, oppervlakte en volume) veralgemeniseert, zodat ook aan ingewikkelder verzamelingen dan die van 'gewone' punten in een ruimte een maat kan worden toegekend. In de maattheorie is de Lebesgue-integratie de theoretische basis voor de kansrekening en de integraalrekening. Zo kan dankzij de maattheorie de verwachting van een stochastische variabele worden opgevat als de integraal van een meetbare functie. Het uitgangspunt is een strenge afbakening van het studiegebied op basis van de axiomatische verzamelingenleer. In de Banach-Tarskiparadox wordt duidelijk hoe een naïeve opvatting van het begrip "maat van een verzameling" wordt afgestraft. De wiskundigen Stefan Banach en Alfred Tarski toonden aan dat uit een naïeve opvatting van het begrip "volume" (maat in de -dimensionale reële ruimte) volgt dat alle lichamen een gelijk volume hebben.
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A teoria da medida é um ramo da matemática iniciado pelos trabalhos de Émile Borel, mas muito desenvolvido por matemáticos como Henri Lebesgue e Constantin Carathéodory. O problema da teoria da medida se divide basicamente em duas partes:
* Definir uma medida que associe a cada conjunto de uma família em um dado espaço um valor significativo do seu tamanho.
* Definir uma teoria de integração para as funções que tomam valores neste espaço.
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Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) – dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki. Za początek tej dziedziny uważa się rok 1902, gdy Henri Lebesgue podał konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary. Najczęściej mierzy się podzbiory przestrzeni euklidesowych. Jednak niektórym „nieporządnym” podzbiorom przestrzeni euklidesowych (czy innych) nie można przypisać "miary" (tj. wielkości liczbowych) w spójny sposób. Klasycznym przykładem jest tzw. zbiór Vitalego. Dlatego przyjęto, iż miara musi być ograniczona do podzbiorów „porządnych”, tj. należących do tzw. przestrzeni mierzalnej określonej na danej przestrzeni. (Jeśli dana przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, to zwykle wymaga się, by mierzalne były zbiory otwarte; wówczas do zbiorów mierzalnych należą m.in. zbiory borelowskie.) Rozwój teorii miary pozostaje w ścisłym związku z rozwojem rachunku prawdopodobieństwa: w 1933 r. Kołmogorow sformułował aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, zastępując klasyczną definicję Laplace'a i definicję częstościową Misesa (zob. prawdopodobieństwo). W interpretacji Kołmogorowa zdarzenia losowe są podzbiorami pewnej przestrzeni probabilistycznej, a prawdopodobieństwo jest miarą określoną na tej przestrzeni (miarą prawdopodobieństwa).
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