Local class field theory
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In mathematics, local class field theory, introduced by Helmut Hasse, is the study of abelian extensions of local fields; here, "local field" means a field which is complete with respect to an absolute value or a discrete valuation with a finite residue field: hence every local field is isomorphic (as a topological field) to the real numbers R, the complex numbers C, a finite extension of the p-adic numbers Qp (where p is any prime number), or a finite extension of the field of formal Laurent series Fq((T)) over a finite field Fq.
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En mathématiques, la théorie des corps de classes locaux[réf. souhaitée] ou théorie du corps de classes local est l'étude en théorie des nombres des extensions abéliennes des corps locaux. Cette théorie peut être considérée comme achevée. Au début du XXe siècle, après les travaux de Teiji Takagi et Emil Artin qui complétèrent la théorie des corps de classes, les résultats locaux se déduisaient des résultats globaux. Actuellement, c'est le point de vue inverse qui est le plus répandu : les résultats locaux sont établis au préalable puis permettent de déduire les correspondances globales.
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Théorie des corps de classes locaux
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Local class field theory
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In mathematics, local class field theory, introduced by Helmut Hasse, is the study of abelian extensions of local fields; here, "local field" means a field which is complete with respect to an absolute value or a discrete valuation with a finite residue field: hence every local field is isomorphic (as a topological field) to the real numbers R, the complex numbers C, a finite extension of the p-adic numbers Qp (where p is any prime number), or a finite extension of the field of formal Laurent series Fq((T)) over a finite field Fq.
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En mathématiques, la théorie des corps de classes locaux[réf. souhaitée] ou théorie du corps de classes local est l'étude en théorie des nombres des extensions abéliennes des corps locaux. Cette théorie peut être considérée comme achevée. Au début du XXe siècle, après les travaux de Teiji Takagi et Emil Artin qui complétèrent la théorie des corps de classes, les résultats locaux se déduisaient des résultats globaux. Actuellement, c'est le point de vue inverse qui est le plus répandu : les résultats locaux sont établis au préalable puis permettent de déduire les correspondances globales. La théorie de base concerne, pour un corps local K, la description du groupe de Galois G de l'extension abélienne maximale de K. Ceci est relié à K×, le groupe des unités de K. Ces groupes ne peuvent pas être isomorphes : en tant que groupe topologique G est profini et donc compact, alors que K× n'est pas compact. Dans le cas où K est une extension finie du corps ℚp des nombres p-adiques, K× est isomorphe au produit direct de ℤ par un groupe compact. L'opération topologique principale est de remplacer le groupe cyclique infini ℤ par le groupe , qui est son complété profini suivant ses sous-groupes d'indice fini. Ceci peut être fait en munissant K× d'une topologie adéquate, puis en le complétant pour celle-ci. Grossièrement, la théorie du corps de classes local identifie alors le groupe obtenu avec G.
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