Lehmer's conjecture
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レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 が存在して、すべての整数係数の多項式 は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。
* のマーラー測度 は より大きいかまたは等しい。
* は、円分多項式もしくは単項式 の積の整数倍である。この場合は である。（同じことであるが、 のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。） マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 を 上分解して とし、 と定義するものがある。 知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式 のマーラー測度であり、これは(Salem number) である。 この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の であると広く信じられている。
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Lehmer's conjecture, also known as the Lehmer's Mahler measure problem, is a problem in number theory raised by Derrick Henry Lehmer. The conjecture asserts that there is an absolute constant such that every polynomial with integer coefficients satisfies one of the following properties:
* The Mahler measure of is greater than or equal to .
* is an integral multiple of a product of cyclotomic polynomials or the monomial , in which case . (Equivalently, every complex root of is a root of unity or zero.) and then set for which the Mahler measure is the Salem number
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Lehmer's conjecture
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レーマーの予想
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Lehmer's Mahler Measure Problem
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LehmersMahlerMeasureProblem
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Lehmer's conjecture, also known as the Lehmer's Mahler measure problem, is a problem in number theory raised by Derrick Henry Lehmer. The conjecture asserts that there is an absolute constant such that every polynomial with integer coefficients satisfies one of the following properties:
* The Mahler measure of is greater than or equal to .
* is an integral multiple of a product of cyclotomic polynomials or the monomial , in which case . (Equivalently, every complex root of is a root of unity or zero.) There are a number of definitions of the Mahler measure, one of which is to factor over as and then set The smallest known Mahler measure (greater than 1) is for "Lehmer's polynomial" for which the Mahler measure is the Salem number It is widely believed that this example represents the true minimal value: that is, in Lehmer's conjecture.
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レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 が存在して、すべての整数係数の多項式 は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。
* のマーラー測度 は より大きいかまたは等しい。
* は、円分多項式もしくは単項式 の積の整数倍である。この場合は である。（同じことであるが、 のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。） マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 を 上分解して とし、 と定義するものがある。 知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式 のマーラー測度であり、これは(Salem number) である。 この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の であると広く信じられている。
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