Landen's transformation

rdf:langString Преобразование Ландена

rdf:langString Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик Джон Ланден (1719—1790) в 1775 году предложил очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода то есть в первообразной функции Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой: В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий: Параметры x и x1 связаны зависимостями: Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр x стремится к 1, параметр x1 к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны: Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла x (x1). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами — модулярный угол; — модуль эллиптического интеграла; — параметр эллиптического интеграла. Легко видеть, что формулы, связывающие значения x и x1 и углы φ и θ, для случая, когда итерации начинаются с параметров x1 и θ, можно представить в виде: Если же итерации начинаются с параметров x и φ, то формулы имеют вид: Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от θ к φ. При изменении угла φ от 0 до π/2 угол θ терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена. В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая: В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий: Параметры x и x1 связаны зависимостями: