Jacobi's theorem (geometry)
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Der Satz von Jacobi, benannt nach Karl Friedrich Andreas Jacobi, ist eine Aussage in der Elementargeometrie über Dreiecke beziehungsweise über ein spezielles aus Dreiecken erzeugtes Sechseck. Zu einem gegebenen beliebigen Dreieck errichtet man über dessen Seiten drei weitere Dreiecke , und , so dass an den Eckpunkten des , und je zwei gleich große Winkel anliegen, also , und gilt. Der Satz von Jacobi besagt nun, dass sich die drei Strecken , und in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
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In plane geometry, a Jacobi point is a point in the Euclidean plane determined by a triangle ABC and a triple of angles α, β, and γ. This information is sufficient to determine three points X, Y, and Z such that ∠ZAB = ∠YAC = α, ∠XBC = ∠ZBA = β, and ∠YCA = ∠XCB = γ. Then, by a theorem of , the lines AX, BY, and CZ are concurrent, at a point N called the Jacobi point. The Jacobi point is a generalization of the Fermat point, which is obtained by letting α = β = γ = 60° and triangle ABC having no angle being greater or equal to 120°.
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Dalam geometri bidang, sebuah titik Jacobi merupakan sebuah titik di bidang Euklides yang ditentukan oleh sebuah segitiga dan rangkap tiga sudut , , dan . Adanya informasi tersebut sudah cukup untuk menentukan ketiga titik , , dan sehingga , , dan . Berdasarkan teorema dari , garis , , adalah , di sebuah titik yang disebut sebagai . Titik Jacobi merupakan sebuah perumuman dari , yang diperoleh dengan memisalkan dan segitiga tidak memiliki sudut yang lebih besar atau sama dengan . yang merupakan persamaan untuk . Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah .
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De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek. De stelling is vernoemd naar Karl Friedrich Andreas Jacobi, een Duitse wiskundige die leefde van 1795 tot 1855 en die de stelling in 1825 publiceerde. De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek XYZ voldoet aan de voorwaarden dat:
* , dus als C en Z aan weerszijden van AB liggen,
* en
* dan zijn ABC en XYZ perspectief. XYZ wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum N punt van Jacobi.
*
* en
* ,
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Satz von Jacobi (Geometrie)
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Teorema Jacobi (geometri)
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Jacobi's theorem (geometry)
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Stelling van Jacobi
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Der Satz von Jacobi, benannt nach Karl Friedrich Andreas Jacobi, ist eine Aussage in der Elementargeometrie über Dreiecke beziehungsweise über ein spezielles aus Dreiecken erzeugtes Sechseck. Zu einem gegebenen beliebigen Dreieck errichtet man über dessen Seiten drei weitere Dreiecke , und , so dass an den Eckpunkten des , und je zwei gleich große Winkel anliegen, also , und gilt. Der Satz von Jacobi besagt nun, dass sich die drei Strecken , und in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Der gemeinsame Schnittpunkt wird als Jacobi-Punkt bezeichnet. Man beachte, dass der Jacobi-Punkt eine Eigenschaft des Sechsecks und nicht des Ausgangsdreiecks ist, denn neben dem Dreieck hängt er auch von den an seinen drei Eckpunkten anliegenden Winkeln ab. Man kann ihn als eine Verallgemeinerung des Fermat-Punktes auffassen, den man erhält, wenn das Ausgangsdreieck keinen Winkel größer als besitzt und die an den Eckpunkten des Dreiecks anliegenden Winkel betragen beziehungsweise man über den Dreieckseiten gleichseitige Dreiecke errichtet. Der Satz von Jacobi verallgemeinert den Satz von Kiepert, der die Errichtung gleichschenkliger Dreiecke mit gleichen Basiswinkel über den Seiten des Dreiecks betrachtet.
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In plane geometry, a Jacobi point is a point in the Euclidean plane determined by a triangle ABC and a triple of angles α, β, and γ. This information is sufficient to determine three points X, Y, and Z such that ∠ZAB = ∠YAC = α, ∠XBC = ∠ZBA = β, and ∠YCA = ∠XCB = γ. Then, by a theorem of , the lines AX, BY, and CZ are concurrent, at a point N called the Jacobi point. The Jacobi point is a generalization of the Fermat point, which is obtained by letting α = β = γ = 60° and triangle ABC having no angle being greater or equal to 120°. If the three angles above are equal, then N lies on the rectangular hyperbola given in areal coordinates by which is Kiepert's hyperbola. Each choice of three equal angles determines a triangle center.
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Dalam geometri bidang, sebuah titik Jacobi merupakan sebuah titik di bidang Euklides yang ditentukan oleh sebuah segitiga dan rangkap tiga sudut , , dan . Adanya informasi tersebut sudah cukup untuk menentukan ketiga titik , , dan sehingga , , dan . Berdasarkan teorema dari , garis , , adalah , di sebuah titik yang disebut sebagai . Titik Jacobi merupakan sebuah perumuman dari , yang diperoleh dengan memisalkan dan segitiga tidak memiliki sudut yang lebih besar atau sama dengan . Jika ketiga sudut tersebut sama, maka yang terletak di hiperbola persegi panjang dinyatakan dalam bentuk dengan yang merupakan persamaan untuk . Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah .
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De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek. De stelling is vernoemd naar Karl Friedrich Andreas Jacobi, een Duitse wiskundige die leefde van 1795 tot 1855 en die de stelling in 1825 publiceerde. De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek XYZ voldoet aan de voorwaarden dat:
* , dus als C en Z aan weerszijden van AB liggen,
* en
* dan zijn ABC en XYZ perspectief. XYZ wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum N punt van Jacobi. De barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie
*
* en
* Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten , waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren. Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley, de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert. De ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is ook een Jacobi-driehoek.
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1949
