Inflection point

rdf:langString Punkt przegięcia

rdf:langString Punkt przegięcia – niejednoznaczne pojęcie matematyczne, definiowane inaczej – i nierównoważnie – w analizie oraz geometrii. W obu dyscyplinach występują różne konwencje znaczeń: * dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego: * dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą. W sensie ścisłym i węższym: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny, choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej. Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak: * ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedziny, * zmiana znaku drugiej pochodnej, * zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu, * zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa: Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje. Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton.