Generating function
http://dbpedia.org/resource/Generating_function an entity of type: Thing
في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function) هي بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد an . قد تسمى الدالة المولدة المتسلسلةَ المولدةَ، مما يفسر تسميتها باللغة الفرنسية Série génératrice.
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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge die formale Potenzreihe . Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge die geometrische Reihe Die Reihe konvergiert für alle und besitzt den Wert . Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.
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( 이 문서는 수학의 생성함수(모함수)에 관한 것입니다. 일반적인 역학에서의 모함수에 대해서는 모함수 (물리학) 문서를 참고하십시오.) 수학에서 어떤 수열 an (n은 자연수)에 대하여, 와 같이 미지수의 계수가 수열의 각 항으로 되어 있는 멱급수 형태의 함수 즉, 그 수열을 계수로 하는 멱급수를 생성함수(生成函數, generating function)라고 한다. 아브라암 드무아브르가 1730년에 일반 선형 점화식 문제를 풀기 위해 도입하였다. 생성함수는 여러 경우에 이용되는데 예를 들어 어떤 수열에 대한 점화식을 이용해 일반항을 알아낼 때에도 쓰인다.
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De voortbrengende functie van een rij is de formele machtreeks (waarbij niet op convergentie wordt gelet) Een eenvoudig voorbeeld is de voortbrengende functie van de constante rij , die gegeven wordt door De reeks is absoluut convergent voor . Voortbrengende functies worden gebruikt als hulpmiddel voor het oplossen van recursies, differentievergelijkingen en telproblemen.
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Funkcja tworząca dla ciągu jest zdefiniowana jako Ciąg może być w szczególnym przypadku ciągiem liczbowym (wartości są liczbami naturalnymi, jak to się dzieje, gdy odpowiada on zliczaniu obiektów kombinatorycznych, rzeczywistymi, zespolonymi) jednak w ogólności jego wartości mogą być inne (np. funkcje). Tymczasem jednomiany mogą być rozpatrywane jako wyrazy pierścienia (gdy interesują nas wyłącznie algebraiczne właściwości funkcji tworzącej) albo liczby (rzeczywiste lub zespolone).
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En genererande funktion är inom matematik en som innehåller information om en talföljd.
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在数学中，某个序列 的母函数（又称生成函数，英語：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。 母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。 注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个上域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。
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En matemàtiques, una funció generadora o funció generatriu és una sèrie formal de potències els coeficients dels quals codifiquen informació sobre una successió a n en què l'índex corre sobre els enters no negatius.
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Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti, a naopak otázky týkající se funkcí převádět na zkoumání posloupností. Teorie vytvořujících funkcí má však svoje omezení: Ne každé funkci odpovídá nějaká mocninná řada a ne každá mocninná řada konverguje kdekoli kromě nuly (což ovšem v zásadě nebrání s ní pracovat jako s vytvořující funkcí, pokud nepotřebujeme využít analytické vlastnosti jí definované funkce, ale chápeme ji jen jako tzv. formální mocninnou řadu).
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In mathematics, a generating function is a way of encoding an infinite sequence of numbers (an) by treating them as the coefficients of a formal power series. This series is called the generating function of the sequence. Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the "variable" remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers.
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En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos. Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x.
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Dalam matematika, fungsi pembangkit adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga sebagai koefisien-koefisien suatu deret pangkat formal. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat formal tidak perlu : malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan permasalahan rekursi perulangan linear secara umum. Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.
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En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes, etc.) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire.
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In matematica una funzione generatrice è una serie formale di potenze i cui coefficienti costituiscono i componenti an di una successione indicizzata dai numeri naturali; spesso questa successione viene rappresentata efficacemente dalla funzione generatrice, specialmente quando per questa si trova qualche espressione sufficientemente maneggevole e significativa.
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数学において、母関数（ぼかんすう、英: generating function; 生成関数）は、（自然数で添字付けられた）数列 {an} に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列（多重数列）の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数 (ordinary generating function)、指数型母関数 (exponential generating function)、ランベルト級数 (Lambert series)、ベル級数 (Bell series)、ディリクレ級数 (Dirichlet series) など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する（ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要）が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数（母級数）と呼ぶこともしばしばである。
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Em matemática, uma função geradora ou função geratriz é uma forma de codificar uma de números ao tratá-los como os coeficientes de uma série de potências formal. Essa série é denominada a função geradora da sequência. Ao contrário de uma série normal, a série de potências formal não precisa convergir: na verdade, a função geradora não é realmente tratada como uma função, e a "variável" é considerada indeterminada. Funções geradoras foram primeiramente introduzidas por Abraham de Moivre em 1730, de maneira a tentar resolver o problema de recorrência geral linear.É possível generalizar para séries de potências formais em mais de um indeterminado, para codificar informação sobre infinitas listas de números multidimensionais.
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Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа. Если дана последовательность чисел , то из них можно построить формальный степенной ряд , который называется производящей функцией этой последовательности. Близким понятием является экспоненциальная производящая функция последовательности — степенной ряд ,
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У комбінаториці генератри́са або твірна функція (англ. generating function) послідовності — це формальний степеневий ряд . Експоненційна генератриса (твірна функція) — це формальний степеневий ряд . Доволі часто генератриса (твірна функція) послідовності є одночасно рядом Тейлора відомої аналітичної функції, і це можна використовувати при дослідженні властивостей самої послідовності.Тим не менше, генератрисі необов'язково відповідає аналітична функція. Наприклад, два ряди і
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دالة مولدة
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Funció generatriu
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Vytvořující funkce (posloupnost)
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Erzeugende Funktion
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Generating function
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Función generadora
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Fungsi pembangkit
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Série génératrice
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Funzione generatrice
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생성함수 (수학)
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母関数
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Funkcja tworząca
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Voortbrengende functie
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Função geradora
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Производящая функция последовательности
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Genererande funktion
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Генератриса
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母函数
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Theorem: congruences for series generated by expansions of continued fractions
xsd:integer
160993
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1122145191
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p/g043900
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Generatingfunctionology
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Mathematics and plausible reasoning
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A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.
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A generating function is a device somewhat similar to a bag. Instead of carrying many little objects detachedly, which could be embarrassing, we put them all in a bag, and then we have only one object to carry, the bag.
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Generating function
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في الرياضيات، دالة مولدة (بالإنجليزية: Generating function) هي بمتغير واحد معاملاتها تحتوي على تمثيل ضمني لمتتالية من الأعداد an . قد تسمى الدالة المولدة المتسلسلةَ المولدةَ، مما يفسر تسميتها باللغة الفرنسية Série génératrice.
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En matemàtiques, una funció generadora o funció generatriu és una sèrie formal de potències els coeficients dels quals codifiquen informació sobre una successió a n en què l'índex corre sobre els enters no negatius. Hi ha diversos tipus de funcions generadores: funcions generadores ordinàries, funcions generadores exponencials, la sèrie de Lambert, la sèrie de Bell i la sèrie de Dirichlet, de les quals més avall s'ofereixen definicions i exemples. Cada successió té una funció generadora de cert tipus. El tipus de funció generadora, que és apropiada en un context donat, depèn de la naturalesa de la successió i els detalls del problema que s'analitza. Les funcions generadores són expressions tancades en un argument formal x. De vegades, una funció generadora «s'avalua» en un valor específic x = a, però cal tenir en compte que les funcions generadores són sèries formals de potències, motiu pel qual no es considera ni s'analitza el problema de la convergència en tots els valors de x. Per aquesta raó, és important observar que les funcions generadores no són realment funcions en el sentit usual de ser mapeigs entre un domini i un codomini, el nom és únicament el resultat del desenvolupament històric del seu estudi.
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Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti, a naopak otázky týkající se funkcí převádět na zkoumání posloupností. Teorie vytvořujících funkcí má však svoje omezení: Ne každé funkci odpovídá nějaká mocninná řada a ne každá mocninná řada konverguje kdekoli kromě nuly (což ovšem v zásadě nebrání s ní pracovat jako s vytvořující funkcí, pokud nepotřebujeme využít analytické vlastnosti jí definované funkce, ale chápeme ji jen jako tzv. formální mocninnou řadu). Důležitými aplikacemi teorie vytvořujících funkcí jsou momentová vytvořující funkce v teorii pravděpodobnosti, která mimo jiné umožňuje odvodit rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou nezávislých náhodných veličin se známými rozděleními, a příbuzná pravděpodobnostní vytvořující funkce. S pomocí vytvořujících funkcí lze také řešit různé kombinatorické úlohy.
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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge die formale Potenzreihe . Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge die geometrische Reihe Die Reihe konvergiert für alle und besitzt den Wert . Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.
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En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos. Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza. Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x. Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamente el resultado del desarrollo histórico de su estudio. Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesión de números para mostrarla Herbert Wilf
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In mathematics, a generating function is a way of encoding an infinite sequence of numbers (an) by treating them as the coefficients of a formal power series. This series is called the generating function of the sequence. Unlike an ordinary series, the formal power series is not required to converge: in fact, the generating function is not actually regarded as a function, and the "variable" remains an indeterminate. Generating functions were first introduced by Abraham de Moivre in 1730, in order to solve the general linear recurrence problem. One can generalize to formal power series in more than one indeterminate, to encode information about infinite multi-dimensional arrays of numbers. There are various types of generating functions, including ordinary generating functions, exponential generating functions, Lambert series, Bell series, and Dirichlet series; definitions and examples are given below. Every sequence in principle has a generating function of each type (except that Lambert and Dirichlet series require indices to start at 1 rather than 0), but the ease with which they can be handled may differ considerably. The particular generating function, if any, that is most useful in a given context will depend upon the nature of the sequence and the details of the problem being addressed. Generating functions are often expressed in closed form (rather than as a series), by some expression involving operations defined for formal series. These expressions in terms of the indeterminate x may involve arithmetic operations, differentiation with respect to x and composition with (i.e., substitution into) other generating functions; since these operations are also defined for functions, the result looks like a function of x. Indeed, the closed form expression can often be interpreted as a function that can be evaluated at (sufficiently small) concrete values of x, and which has the formal series as its series expansion; this explains the designation "generating functions". However such interpretation is not required to be possible, because formal series are not required to give a convergent series when a nonzero numeric value is substituted for x. Also, not all expressions that are meaningful as functions of x are meaningful as expressions designating formal series; for example, negative and fractional powers of x are examples of functions that do not have a corresponding formal power series. Generating functions are not functions in the formal sense of a mapping from a domain to a codomain. Generating functions are sometimes called generating series, in that a series of terms can be said to be the generator of its sequence of term coefficients.
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Dalam matematika, fungsi pembangkit adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga sebagai koefisien-koefisien suatu deret pangkat formal. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat formal tidak perlu : malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan permasalahan rekursi perulangan linear secara umum. Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan. Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya fungsi pembangkit biasa, fungsi pembangkit eksponensial, deret Lambert, deret Bell, dan deret Dirichlet; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), namun tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan. Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam bentuk tertutup (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel -- yang tak terdefinisi -- , dan dapat melibatkan operasi aritmetika, diferensiasi, komposisi fungsi dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap . Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan ketika nilai taknol disubtitusi ke . Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal. Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah domain ke suatu . Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai deret pembangkit. Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah pencacahan, rekursi, dan relasi pengulangan.
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En mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes, etc.) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire. C'est une notion distincte de l'interpolation polynomiale, où l'on cherche à déterminer un polynôme dont les valeurs (et non plus les coefficients) coïncident avec une suite donnée. En fait, il existe plusieurs sortes de séries génératrices, comme les , les séries de Lambert, les séries de Dirichlet, etc. On peut associer à toute suite une série génératrice de chaque type, mais la facilité de manipulation de la série dépend considérablement de la nature de la suite associée : par exemple l'arithmétique des séries de Dirichlet reflète assez naturellement les propriétés de suites en théorie des nombres, tandis que les séries génératrices exponentielles seront quant à elles idéales pour encoder des problèmes liés aux permutations, etc. Il est souvent possible d'étudier une suite donnée à l'aide de manipulations formelles de la série génératrice associée, ainsi qu'en utilisant les propriétés analytiques de la fonction somme de la série, du moins si celle-ci converge pour un ensemble assez grand de valeurs. Ce dernier cas, assez fréquent en pratique, justifie la dénomination de fonction génératrice et constitue le socle de la combinatoire analytique (l'énumération et l'asymptotique d'objets combinatoires via des séries génératrices).Notons de plus que des séries divergentes, telles que ou , sont parfaitement et rigoureusement manipulables : elles convergent dans l'anneau des séries formelles, muni de sa topologie idoine,et peuvent aussi être étudiées asymptotiquement (via d'éventuelles transformations).
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In matematica una funzione generatrice è una serie formale di potenze i cui coefficienti costituiscono i componenti an di una successione indicizzata dai numeri naturali; spesso questa successione viene rappresentata efficacemente dalla funzione generatrice, specialmente quando per questa si trova qualche espressione sufficientemente maneggevole e significativa. Sono studiati vari tipi di funzioni generatrici, come funzioni generatrici ordinarie, funzioni generatrici esponenziali, serie di Lambert, serie di Bell e serie di Dirichlet; qui di seguito ne sono date le definizioni e alcuni esempi. Ad ogni successione possono essere associate le funzioni generatrici di tutti i tipi. Quale può essere la particolare funzione generatrice che risulta più utile in un dato contesto dipende dalla natura della successione e dai dettagli del problema che si sta affrontando. Le funzioni generatrici sono spesso individuate in una forma chiusa come funzioni di una variabile formale x. Talvolta risulta utile valutare una funzione generatrice per uno specifico valore reale o complesso della x. Tuttavia occorre tenere presente che le funzioni generatrici sono serie formali di potenze e per esse non viene necessariamente richiesta la convergenza per determinati valori attribuiti alla x.
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( 이 문서는 수학의 생성함수(모함수)에 관한 것입니다. 일반적인 역학에서의 모함수에 대해서는 모함수 (물리학) 문서를 참고하십시오.) 수학에서 어떤 수열 an (n은 자연수)에 대하여, 와 같이 미지수의 계수가 수열의 각 항으로 되어 있는 멱급수 형태의 함수 즉, 그 수열을 계수로 하는 멱급수를 생성함수(生成函數, generating function)라고 한다. 아브라암 드무아브르가 1730년에 일반 선형 점화식 문제를 풀기 위해 도입하였다. 생성함수는 여러 경우에 이용되는데 예를 들어 어떤 수열에 대한 점화식을 이용해 일반항을 알아낼 때에도 쓰인다.
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De voortbrengende functie van een rij is de formele machtreeks (waarbij niet op convergentie wordt gelet) Een eenvoudig voorbeeld is de voortbrengende functie van de constante rij , die gegeven wordt door De reeks is absoluut convergent voor . Voortbrengende functies worden gebruikt als hulpmiddel voor het oplossen van recursies, differentievergelijkingen en telproblemen.
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Funkcja tworząca dla ciągu jest zdefiniowana jako Ciąg może być w szczególnym przypadku ciągiem liczbowym (wartości są liczbami naturalnymi, jak to się dzieje, gdy odpowiada on zliczaniu obiektów kombinatorycznych, rzeczywistymi, zespolonymi) jednak w ogólności jego wartości mogą być inne (np. funkcje). Tymczasem jednomiany mogą być rozpatrywane jako wyrazy pierścienia (gdy interesują nas wyłącznie algebraiczne właściwości funkcji tworzącej) albo liczby (rzeczywiste lub zespolone).
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数学において、母関数（ぼかんすう、英: generating function; 生成関数）は、（自然数で添字付けられた）数列 {an} に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列（多重数列）の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数 (ordinary generating function)、指数型母関数 (exponential generating function)、ランベルト級数 (Lambert series)、ベル級数 (Bell series)、ディリクレ級数 (Dirichlet series) など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する（ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要）が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 母関数を、形式的冪級数に対する演算・操作を用いるなどして（級数の形ではなく）の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の（十分小さい）具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない（このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される）のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式的冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式的冪級数に対して意味を持つわけではない。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数（母級数）と呼ぶこともしばしばである。
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Em matemática, uma função geradora ou função geratriz é uma forma de codificar uma de números ao tratá-los como os coeficientes de uma série de potências formal. Essa série é denominada a função geradora da sequência. Ao contrário de uma série normal, a série de potências formal não precisa convergir: na verdade, a função geradora não é realmente tratada como uma função, e a "variável" é considerada indeterminada. Funções geradoras foram primeiramente introduzidas por Abraham de Moivre em 1730, de maneira a tentar resolver o problema de recorrência geral linear.É possível generalizar para séries de potências formais em mais de um indeterminado, para codificar informação sobre infinitas listas de números multidimensionais. Existem vários tipos de funções geradoras, incluindo funções geradoras ordinárias, funções geradoras exponenciais, , séries de Bell, séries de Fourier, e séries de Dirichlet; das quais existem muitos exemplos. Cada sucessão tem uma função geradora de certo tipo. Este tipo de função geradora que é apropriada num contexto dado depende da natureza da sucessão e dos detalhes do problema analisado. As funções geradoras são expressões fechadas num argumento formal x. Às vezes, uma função geradora é avaliada num valor específico x=a pelo que se deve ter em conta que as funções geradoras são series formais, que não se considera nem se analisa o problema da convergência para todos os valores de x. Por isto mesmo é importante observar que as funções geradoras não são realmente funções no sentido usual de ser uma relação entre dois conjuntos, ou seja, entre um domínio e um contradomínio. O nome é unicamente o resultado do desenvolvimento histórico de seu estudo. Uma função geradora é uma corda de estender em que penduramos uma sucessão de números para mostrá-los.Herbert Wilf
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En genererande funktion är inom matematik en som innehåller information om en talföljd.
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在数学中，某个序列 的母函数（又称生成函数，英語：Generating function）是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 母函数的表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x的值都存在。 母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。 注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个上域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。
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У комбінаториці генератри́са або твірна функція (англ. generating function) послідовності — це формальний степеневий ряд . Експоненційна генератриса (твірна функція) — це формальний степеневий ряд . Доволі часто генератриса (твірна функція) послідовності є одночасно рядом Тейлора відомої аналітичної функції, і це можна використовувати при дослідженні властивостей самої послідовності.Тим не менше, генератрисі необов'язково відповідає аналітична функція. Наприклад, два ряди і мають радіус збіжності нуль, тобто розбігаються в усіх точках, крім нуля, а в нулі обидва дають 1, тобто як функції вони збігаються; тим не менше, як генератриси (тобто формальні ряди) вони різні. Генератриси (твірні функції) надають можливість просто описувати складні послідовності в комбінаториці, а іноді допомагають знайти для них явні формули.Метод генератрис був розроблений Ейлером у 50-х роках XVIII століття.
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Производя́щая фу́нкция после́довательности — алгебраическое понятие, которое позволяет работать с разными комбинаторными объектами аналитическими методами. Они дают гибкий способ описывать соотношения в комбинаторике, а иногда помогают вывести явные формулы для числа комбинаторных объектов определённого типа. Если дана последовательность чисел , то из них можно построить формальный степенной ряд , который называется производящей функцией этой последовательности. Близким понятием является экспоненциальная производящая функция последовательности — степенной ряд , у которого коэффициент перед поделён на факториал числа .
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Suppose that the generating function is represented by an infinite continued fraction of the form
and that denotes the th convergent to this continued fraction expansion defined such that for all . Then:
# the function is rational for all where we assume that one of divisibility criteria of is met, that is, for some ; and
# if the integer divides the product , then we have .
xsd:nonNegativeInteger
86976