Fundamental theorem of Riemannian geometry
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In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion-free and metric-compatible, called the Levi-Civita connection or (pseudo-)Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric.
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Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.
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En geometria de Riemann, el teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que, donada una varietat de Riemann (o una ), hi ha una única connexió sense torsió que preserva el tensor mètric. Tal connexió s'anomena connexió de Levi-Civita. Més exactament: Sigui un varietat de Riemann (o ) llavors hi ha una connexió única que satisfà les condicions següents: 1.
* Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota la derivada de la funció al llarg del camp vectorial . 2.
* Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota el claudàtor de Lie per als camps vectorials .
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En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita. Más exactamente: Sea una variedad de Riemann (o variedad pseudoriemanniana) entonces hay una conexión única que satisface las condiciones siguientes:
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Le théorème fondamental de la géométrie riemannienne est un résultat de géométrie qui permet de bien fonder le champ de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire l'étude des variétés, « espaces courbes » de toutes dimension, munies d'une métrique. Il affirme l'existence et l'unicité de la connexion de Levi-Civita sur toute variété riemannienne. Celle-ci permet de faire le lien entre les trois piliers du « triangle d'or » de la géométrie riemannienne : courbure, transport parallèle et calcul différentiel absolu.
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In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart. Preciezer: Laat een riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn, dan is er een unieke verbinding , die aan de volgende voorwaarden voldoet:
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リーマン幾何学において、リーマン幾何学の基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）には、捩れのない計量接続が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。ここに、計量接続（あるいは、リーマン接続）は、計量テンソルを保存する接続である。正確には、 リーマン幾何学の基本定理：(M, g) をリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。
* 任意のベクトル場 X, Y, Z に対し、ここに はベクトル場 X に沿った函数 の微分を表す。
* 任意のベクトル場 X, Y に対し、である。ここに [X, Y] はベクトル場 X, Y のリーのブラケットである。 第一の条件は、計量テンソルは平行移動により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩れテンソルが 0 であることを表している。 基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソルを捩れとして保存するという定理となる。
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Teorema fonamental de la geometria de Riemann
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Teorema fundamental de la geometría de Riemann
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Fundamental theorem of Riemannian geometry
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Théorème fondamental de la géométrie riemannienne
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リーマン幾何学の基本定理
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Hoofdstelling van de riemann-meetkunde
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Основная теорема римановой геометрии
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845060
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1120192900
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Definition 4.1.7
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Theorem 4.3.1
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p.48
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Jost
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Kobayashi
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Nomizu
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1963
2017
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Ellis
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Petersen
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Jost
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Kobayashi
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Hawking
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Wald
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do Carmo
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Nomizu
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Milnor
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p.41
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p.49
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p.55
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p.66
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Definition 4.2.1
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Lemma 4.1.1
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Proposition 2.2.5
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Proposition IV.2.1
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Theorem 2.3.6
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p.194
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p.34
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p.35
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p.48
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p.54
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pp.53-54
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section 3.1
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1963
1973
1984
1992
2016
2017
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Ellis
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O'Neill
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Kobayashi
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Helgason
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Hawking
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Wald
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Nomizu
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Milnor
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1963
1973
1983
1984
2001
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Jost
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Helgason
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Milnor
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1963
2001
2017
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Kobayashi
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Nomizu
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Milnor
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1963
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O'Neill
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1983
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p.40
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p.43
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p.61
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Definition 8.5
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Proposition III.7.6
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Theorem I.9.1
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p.35
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p.36
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pp.47-48
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Theorem IV.2.2
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p.194
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Lemma 8.6
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p.160
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p.61
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Theorem 3.11
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Theorem 2.2.2
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Wald
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Theorem 3.1.1
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1984
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Petersen
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2016
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En geometria de Riemann, el teorema fonamental de la geometria de Riemann estableix que, donada una varietat de Riemann (o una ), hi ha una única connexió sense torsió que preserva el tensor mètric. Tal connexió s'anomena connexió de Levi-Civita. Més exactament: Sigui un varietat de Riemann (o ) llavors hi ha una connexió única que satisfà les condicions següents: 1.
* Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota la derivada de la funció al llarg del camp vectorial . 2.
* Per a qualssevol camps vectorials tenim , on denota el claudàtor de Lie per als camps vectorials . La prova tècnica següent presenta una fórmula per als de la connexió en un conjunt coordinat local. Per a una mètrica donada, aquest conjunt d'equacions pot arribar a suposar tot un repte. Hi ha mètodes més ràpids i més simples d'obtenir els símbols de Christoffel per a una mètrica donada, i amb la integral d'acció i les equacions associades d'Euler-Lagrange.
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En geometría de Riemann, el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita. Más exactamente: Sea una variedad de Riemann (o variedad pseudoriemanniana) entonces hay una conexión única que satisface las condiciones siguientes: 1.
* para cualesquiera campos vectoriales tenemos , donde denota la derivada de la función a lo largo del campo vectorial . 2.
* para cualesquiera campos vectoriales tenemos , donde denota el corchete de Lie para los campos vectoriales . La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un conjunto coordenado local. Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado. Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g. con la integral de acción y las ecuaciones asociadas de Euler-Lagrange.
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In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion-free and metric-compatible, called the Levi-Civita connection or (pseudo-)Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric.
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Le théorème fondamental de la géométrie riemannienne est un résultat de géométrie qui permet de bien fonder le champ de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire l'étude des variétés, « espaces courbes » de toutes dimension, munies d'une métrique. Il affirme l'existence et l'unicité de la connexion de Levi-Civita sur toute variété riemannienne. Celle-ci permet de faire le lien entre les trois piliers du « triangle d'or » de la géométrie riemannienne : courbure, transport parallèle et calcul différentiel absolu. Le théorème est naturellement présent (sous le vocable de « théorème fondamental » ou non) dans tous les traités de géométrie riemannienne. Son énoncé fonctionne également dans le cadre des variétés pseudo-riemanniennes, d'où son intérêt par exemple pour le domaine de la relativité générale.
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In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart. Preciezer: Laat een riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn, dan is er een unieke verbinding , die aan de volgende voorwaarden voldoet: 1.
* voor enige vectorvelden hebben wij , waar de afgeleide van de functie aanduidt langs vectorveld . 2.
* voor enige vectorvelden , , waar de lie-haken voor vectorvelden aanduiden. (De eerste voorwaarde houdt in dat de metrische tensor wordt bewaard door parallel transport, terwijl de tweede voorwaarde het feit uitdrukt dat de torsie van nul is.) Een uitbreiding van de hoofdstelling stelt dat er, gegeven een pseudo-riemann-variëteit, een unieke verbinding bestaat, die de metrische tensor bewaart met enige gegeven vectorwaardige 2-vorm als haar torsie. Een technisch bewijs kan een formule voor christoffel-symbolen van de verbinding in een lokaal coördinatensysteem presenteren. Voor een gegeven metriek kan deze verzameling van vergelijkingen nogal ingewikkeld worden. Er bestaan snellere en eenvoudigere methoden om de christoffel-symbolen voor een bepaalde metriek te verkrijgen, bijvoorbeeld het gebruiken van de actie integraal en de geassocieerde euler-lagrange-vergelijkingen.
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リーマン幾何学において、リーマン幾何学の基本定理(fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）には、捩れのない計量接続が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続(Levi-Civita connection)と呼ばれる。ここに、計量接続（あるいは、リーマン接続）は、計量テンソルを保存する接続である。正確には、 リーマン幾何学の基本定理：(M, g) をリーマン多様体（あるいは、擬リーマン多様体）とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。
* 任意のベクトル場 X, Y, Z に対し、ここに はベクトル場 X に沿った函数 の微分を表す。
* 任意のベクトル場 X, Y に対し、である。ここに [X, Y] はベクトル場 X, Y のリーのブラケットである。 第一の条件は、計量テンソルは平行移動により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩れテンソルが 0 であることを表している。 基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソルを捩れとして保存するという定理となる。 次のテクニカルな証明は、局所座標系で接続の座標表現であるクリストッフェル記号を示している。与えられた計量に対し、この（局所座標系を使う）方程式の集合は、むしろ複雑である。与えられた計量に対し、クリストッフェルの記号を使うよりも早く、より簡単な方法がある。この方法は、作用積分やオイラー・ラグランジュ方程式を使う方法である。
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Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.
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