Frobenius endomorphism

rdf:langString Endomorfisme de Frobenius

rdf:langString En àlgebra commutativa i teoria de cossos l'endomorfisme de Frobenius és un endomorfisme d'anells de característica un nombre primer. En certs contextos és un automorfisme, però aquest fet no és cert en general. Sigui R un anell commutatiu de característica un nombre primer p (la característica és sempre un nombre primer quan R és un domini d'integritat, per exemple). L'endomorfisme de Frobenius F es defineix com F(r)=rp per a tot r de R. Es pot veure com aquesta aplicació respecta la multiplicació d'elements de R: F(rs)=(rs)p = rpsp així com la suma en R. L'expressió (r + s)p pot ser desenvolupada fent servir el teorema del binomi, i com que p és primer, els coeficients de tots els termes excepte rp i sp són divisibles per p, la característica, pel que són iguals a zero. Finalment veiem que clarament F(1)=1, pel que acabem de demostrar que F és un homomorfisme d'anells. En general, F no és un automorfisme. Per exemple, sigui K el cos Fp(t), és a dir, un cos finit amb p elements junt amb un sol . Podemo afirmar que la imatge de F no conté t. Demostrarem aquest fet per contradicció: Suposem que existeix un element de K la imatge del qual en aplicar-li F és t. Aquest element és una funció racional q(t)/r(t) la potència p-èsima del qual (q(t)/r(t))p és igual a t. Això implica que p(deg q - deg r) = 1, la qual cosa és impossible. Per el que F no és exhaustiva (suprajectiva) i per tant no és un automorfisme. Fins i tot és possible que F no sigui injectiva. Això succeeix si i només si R té un element nilpotent d'ordre inferior o igual a p.