Fractional Fourier transform

rdf:langString Transformada fracional de Fourier

rdf:langString Em matemática a transformada fracional de Fourier (FRFT, do inglês fractional Fourier transform) é uma transformada integral que pode ser considerada uma generalização da transformada de Fourier multidimensional, baseada nas conhecidas propriedades de "rotação" desta última. Em notação de operadores, para maior concisão, pode-se escrever onde denota a transformada de Fourier de dimensão n, onde n é um inteiro. Em duas dimensões, as equações acima possuem uma interpretação geométrica simples: a aplicação da transformada de Fourier (bidimensional) duas vezes consecutivas equivale a uma rotação de 180°. Tal interpretação permite afirmar que a aplicação da transformada de Fourier equivale a uma rotação de 90° e, além disso, permite generalizar a transformação de forma a obter-se uma rotação por um ângulo qualquer. A transformada fracional de Fourier em uma dimensão é denotada por , onde a é um número real. Para a = 1, a FRFT se reduz à transformada de Fourier usual; para valores inteiros maiores que 1, ela equivale à aplicação sucessiva da transformada de Fourier; para a = 0, ela equivale a uma identidade; para a = -1, ela equivale à transformada de Fourier inversa, e assim por diante. A transformada será uma função não apenas da variável ω, mas também de a. A transformação fracional não é apenas um artifício matemático. Existem situações, em Óptica, por exemplo, em que uma transformação fracional corresponde exatamente ao processo físico (ver ). Uma propriedade notável da transformação é que a passagem do domínio do tempo ao domínio da frequência deixa de ser abrupta e passa a ser gradual. A FRFT foi proposta por em 1980, sofreu aperfeiçoamentos durante a década e cresceu em popularidade a partir de 1990. A idéia parece ter ocorrido primeiro a Norbert Wiener, em 1929. Entre as aplicações bem sucedidas até o momento, contam-se a solução da equação de Schroedinger e de outras equações diferenciais de segunda ordem, além de problemas selecionados em Óptica e em Análise de sinais. A transformada fracional de Fourier pode também ser relacionada com a distribuição de Wigner, uma ferramenta importante na análise de sinais não-estacionários. Uma versão discreta também foi definida, para uso em processamento digital, a .