Four color theorem
http://dbpedia.org/resource/Four_color_theorem an entity of type: WikicatMathematicalTheorems
مبرهنة الألوان الأربعة تنص على أنه يمكن لأي مستوى مقسّم إلى عدّة مناطق أن يلّون فقط بأربعة ألوان على أكثر تقدير, بحيث لا تلون منطقتان متجاورتان (لهما نفس الحدود) بنفس اللون، إلا في حالة تشاركهما في نقطة واحدة.
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Der Vier-Farben-Satz (auch Vier-Farben-Theorem, früher auch als Vier-Farben-Vermutung oder Vier-Farben-Problem bekannt) ist ein mathematischer Satz und besagt, dass vier Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte in der euklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen. Der Satz findet Anwendung in der Graphentheorie, Topologie und Kartografie. Dies gilt unter den Einschränkungen, dass isolierte gemeinsame Punkte nicht als „Grenze“ zählen und jedes Land aus einer zusammenhängenden Fläche besteht, also keine Exklaven vorhanden sind.
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Lau koloreen teorema grafoak koloreztatzeko teorema bat da eta honek ondorengoa dio: eskualde auzokidez osaturiko edozein mapa, oso korapilatsua izanda ere, lau kolorez margo daiteke, aldameneko bi eskualdek beti kolore ezberdinak dituztela. Hiru kolorerekin ordea, ezin da edozein mapa margotu. Bost kolorerekin berriz, bai, teorema frogatzeko errazagoa izanik. Lau koloreen problema lehenengo aldiz planteatu zuen 1852. urtean. Planteatu eta mende bat igaro ostean, 1976. urtean, eta problema frogatu zuten konputagailu baten laguntzarekin.
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Tairiscint mhatamaiticiúil gur féidir gach léarscáil ar dhromchla plánach a dhathú, gan úsáid a bhaint ach as 4 dhath ar a mhéid. Is léir nach leor 3 dhath chun réigiúin le comhtheorainneacha a idirdhealú. Thairg Francis Guthrie (1831-1899) den chéad uair i 1852 conas a chruthú gur leor 4 dhath i gcomhair gach léarscála, is cuma cruthanna na réigiún. Ach níor cruthaíodh é seo go dtí 1976 nuair a bhain na matamaticeoirí Meiriceánacha Kenneth Appel (1932-2013) is Wolfgang Haken (1928-) feidhm as ríomhairí chun cruthú sásúil a thabhairt faoi dheireadh.
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四色定理（よんしょくていり／ししょくていり、英: Four color theorem）とは、厳密ではないが日常的な直感で説明すると「平面上のいかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗り分けるには4色あれば十分だ」という定理である。
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4색 정리(四色定理) 또는 4색 문제(四色問題)는 평면을 유한 개의 부분으로 나누어 각 부분에 색을 칠할 때, 서로 맞닿은 부분을 다른 색으로 칠한다면 네 가지 색으로 충분하다는 정리이다. 이 문제는 지도에서 서로 맞닿은 지역에 다른 색을 칠한다는 것에서 착안해 만들어졌다. 세 가지 색으로는 평면을 칠할 수 없다는 것은 를 찾는 것으로 증명할 수 있다. 또한 다섯 가지 색으로 칠하는 것이 가능하다는 것도 증명되어 있다. 하지만 네 가지 색으로 가능한지에 대한 문제는 오랫동안 미해결 상태였다. 평면을 여러 개의 부분으로 나누는 가짓수를 무한 개에서 유한 개로 줄인 증명이 발표된 후, 이후 이 유한 개의 경우를 모두 컴퓨터 계산을 통해 검사하였다. 즉, 이 문제는 컴퓨터를 이용한 증명으로, 일부 사람들은 이러한 증명은 진정한 의미의 수학적인 증명이 아니라고 생각하고, 더욱 간단한 방법의 증명을 찾는 사람들도 있다.
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Пробле́ма чотирьо́х фарб — математична задача, запропонована 1852 року. Інакше кажучи, показати, що хроматичне число плоского графу не перевищує 4.
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四色定理（英語：four color theorem）又稱為四色地圖定理（英語：four color map theorem），是一个著名的数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四种颜色来染色，而且不會有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的圆形中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是邻接区域。 “是否只用四种颜色就能为所有地图染色?”的问题最早是由南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 1976年，数学家凱尼斯·阿佩爾和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到一个完全的证明，四色问题也终于成为四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。
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En matemàtiques, el teorema dels quatre colors estableix que en qualsevol partició d'un pla en regions contigües, que produeix una figura anomenada mapa, no es necessiten més de quatre colors per a acolorir les regions del mapa de manera que no hi hagi dues regions adjacents del mateix color. Dues regions s'anomenen adjacents si comparteixen una frontera comuna que no sigui una cantonada, on les cantonades són els punts compartits per tres o més regions. Per exemple, al mapa dels Estats Units d'Amèrica, Utah i Arizona són adjacents, però Utah i Nou Mèxic, que només comparteixen un punt que també pertany a Arizona i Colorado, no ho són.
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Problém čtyř barev či také věta o čtyřech barvách je (již kladně vyřešený) problém z teorie grafů, který zní: „Stačí čtyři barvy na obarvení libovolné politické mapy tak, aby žádné dva sousedící státy nebyly obarveny stejnou barvou?“ (Za sousední státy jsou považovány takové, že mají společnou hraniční čáru tj. nesousedí spolu jen v jednom bodě.) Obecněji se lze tázat na minimální potřebný počet barev, lze však poměrně snadno dokázat, že pět barev postačuje. Oproti tomu tvrzení, že čtyři barvy stačí, dlouhou dobu odolávalo všem pokusům o důkaz, nikdo však také nebyl schopen nalézt mapu, která by ho vyvrátila.
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Στα μαθηματικά το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, ή το θεώρημα των χαρτών των τεσσάρων χρωμάτων δηλώνει ότι, δεδομένου του διαχωρισμού ενός επιπέδου σε περιοχές, παράγοντας έτσι ένα χάρτη, δεν απαιτούνται περισσότερα από τέσσερα χρώματα για να χρωματιστούν οι περιοχές του χάρτη, έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές με τα ίδια χρώματα. Δύο περιοχές ονομάζονται γειτονικές αν έχουν ένα κοινό σύνορο, χωρίς να σχηματίζουν κορυφή, καθώς οι κορυφές αποτελούν σημεία που είναι κοινά για τρεις ή περισσότερες περιοχές. Για παράδειγμα, στο χάρτη των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής, η Γιούτα και η Αριζόνα είναι γειτονικές πολιτείες, αλλά η Γιούτα και το Νέο Μεξικό, οι οποίες έχουν μόνο ένα κοινό σημείο το οποίο ανήκει επίσης στην Αριζόνα και το Κολοράντο, δεν είναι.
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La kvarkolormapa teoremo (aŭ la teoremo pri kvar koloroj) estas (jam pozitive solvita) problemo el teorio de grafeoj, kiu temas pri tio, ĉu sufiĉas kvar koloroj por kolorigi ajnan politikan mapon tiel, ke neniuj du najbarantaj ŝtatoj estu kolorigitaj per la sama koloro. (Kiel najbaraj ŝtatoj estas konsiderataj tiaj, kiuj havas komunan limlinion, t.e. ili ne najbaras komune nur en unu punkto.) Pli ĝenerale eblas demandi al minimuma bezonata nombro de koloroj, sed relative facile eblas pruvi, ke kvin koloroj sufiĉas. Kontraŭe la aserto, ke kvar koloroj sufiĉas, rezistis longan tempon al ĉiuj provoj por pruvi tion, sed ankaŭ neniu kapablis trovi mapon, kiu estas kontraŭekzemplo.
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In mathematics, the four color theorem, or the four color map theorem, states that no more than four colors are required to color the regions of any map so that no two adjacent regions have the same color. Adjacent means that two regions share a common boundary curve segment, not merely a corner where three or more regions meet. It was the first major theorem to be proved using a computer. Initially, this proof was not accepted by all mathematicians because the computer-assisted proof was infeasible for a human to check by hand. The proof has gained wide acceptance since then, although some doubters remain.
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En teoría de grafos, el teorema de los cuatro colores (o teorema de la minimalidad cromática) es un teorema sobre la coloración de grafos que establece lo siguiente: Asumiendo que las regiones adyacentes comparten no solo un punto, sino todo un segmento de borde (frontera) en común.
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Masalah Guthrie atau Teorema Empat Warna menyatakan bahwa setiap peta dapat diwarnai dengan menggunakan empat warna, sehingga daerah yang berbatasan tidak memiliki warna yang sama. Pada tahun 1976, Masalah Guthrie menjadi teorema matematika pertama yang , akan tetapi ditolak akibat pembuktiannya yang . Sejak saat itu, bukti ini telah diterima secara luas, meskipun beberapa orang masih meragukannya.
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Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorier n'importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions adjacentes (ou limitrophes), c'est-à-dire ayant toute une frontière (et non simplement un point) en commun reçoivent toujours deux couleurs distinctes. L'énoncé peut varier et concerner, de manière tout à fait équivalente, la coloration des faces d'un polyèdre ou celle des sommets d'un graphe planaire, en remplaçant la carte par un graphe dont les sommets sont les régions et les arêtes sont les frontières entre régions.
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Il teorema dei quattro colori è un teorema di matematica che afferma che data una superficie piana divisa in regioni connesse, come ad esempio una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno una linea di confine in comune. Ciascuna regione deve inoltre occupare un territorio connesso, cioè non deve essere formata da due o più parti sconnesse, ovvero con la presenza di exclavi.
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Twierdzenie o czterech barwach – dla każdego skończonego grafu planarnego istnieje funkcja taka że czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby. Jest to jeden z najsłynniejszych problemów matematycznych. Sformułowanie równoważne (mniej ścisłe matematycznie, lecz bardziej przemawiające do wyobraźni):
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De vierkleurenstelling is de stelling in de wiskunde dat het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen, dus zonder exclaves, met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. Hoewel er nergens in de wereld meer een echt vierlandenpunt is, zouden voor een dergelijk punt twee kleuren voldoende zijn.
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Теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на плоскости или на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы имели разный цвет. При этом области должны быть связными (то есть область не может состоять из двух и более отдельных «кусков»), а граница должна быть неточечной (в одной точке своими углами может соприкасаться сколько угодно областей, в том числе окрашенных в один цвет).
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Fyrfärgssatsen, eller fyrfärgsteoremet, är ett matematiskt teorem som säger att det inte behövs mer än fyra färger för att färglägga varje möjlig geografisk karta på ett sådant sätt att inga angränsande regioner har samma färg. Två regioner sägs vara angränsande om de har en gemensam gräns, inte bara en punkt. Fyrfärgssatsen var det första större teorem som bevisades med hjälp av datorer, och beviset accepterades till en början inte av alla matematiker eftersom det inte direkt enkelt kunde kontrolleras av en människa. En annan del i kritiken var avsaknaden av matematisk elegans.
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Em matemática, o teorema das quatro cores, ou teorema do mapa das quatro cores, afirma que não mais do que quatro cores são necessárias para colorir as regiões de qualquer mapa, de modo que duas regiões adjacentes não tenham a mesma cor. Adjacente significa que duas regiões compartilham um segmento de curva limite comum, não apenas um canto onde três ou mais regiões se encontram. Foi o primeiro teorema importante a ser provado usando um computador. Inicialmente, essa prova não foi aceita por todos os matemáticos porque a prova assistida por computador era inviável para um ser humano verificar manualmente. Desde então, a prova ganhou ampla aceitação, embora alguns questionadores permaneçam.
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مبرهنة الألوان الأربعة
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Teorema dels quatre colors
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Problém čtyř barev
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Vier-Farben-Satz
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Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων
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Kvarkolormapa teoremo
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Teorema de los cuatro colores
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Lau koloreen teorema
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Teoirim na gceithre dhath
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Teorema empat warna
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Four color theorem
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Teorema dei quattro colori
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Théorème des quatre couleurs
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四色定理
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4색 정리
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Vierkleurenstelling
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Twierdzenie o czterech barwach
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Теорема о четырёх красках
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Teorema das quatro cores
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Fyrfärgssatsen
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四色定理
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Проблема чотирьох фарб
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10949
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1124503920
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right
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Arthur Cayley
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InternetArchiveBot
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February 2022
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Arthur
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yes
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In the first map, which exceeds four colors, replacing the red regions with any of the four other colors would not work, and the example may initially appear to violate the theorem. However, the colors can be rearranged, as seen in the second map.
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p/f040970
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4
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Cayley
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Four-colour problem
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150
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1879
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En matemàtiques, el teorema dels quatre colors estableix que en qualsevol partició d'un pla en regions contigües, que produeix una figura anomenada mapa, no es necessiten més de quatre colors per a acolorir les regions del mapa de manera que no hi hagi dues regions adjacents del mateix color. Dues regions s'anomenen adjacents si comparteixen una frontera comuna que no sigui una cantonada, on les cantonades són els punts compartits per tres o més regions. Per exemple, al mapa dels Estats Units d'Amèrica, Utah i Arizona són adjacents, però Utah i Nou Mèxic, que només comparteixen un punt que també pertany a Arizona i Colorado, no ho són. Tot i la motivació d'acolorir els mapes polítics dels països, la cartografia no està particularment interessada en el teorema. Segons un article de l'historiador de matemàtiques Kenneth May, "són rars els mapes que utilitzen només quatre colors, i dels que ho fan en general només en necessiten tres. Els llibres de cartografia i història de la cartografia no esmenten la propietat dels quatre colors". En els mapes més simples tres colors són suficients, però en alguns casos es necessita un quart color addicional per a alguns mapes, com ara aquells en els quals una regió està envoltada per un nombre senar d'altres regions que es toquen en un cicle. El teorema dels cinc colors, que té una curta demostració elemental, estableix que cinc colors són suficients per acolorir un mapa i es va demostrar el segle XIX; en canvi, demostrar que quatre colors són suficients va resultar ser significativament més difícil. Hi ha hagut una sèrie de demostracions i contraexemples falses des del primer enunciat del teorema dels quatre colors el 1852. El teorema dels quatre colors va ser demostrat el 1976 per i . Va ser el primer teorema important en ser demostrat mitjançant un ordinador. L'enfocament d'Appel i Haken va començar mostrant que hi ha un conjunt particular de 1.936 mapes, cadascun dels quals no pot formar part d'un contraexemple de mida més petita pel teorema dels quatre colors. Appel i Haken van utilitzar un programa informàtic especialment dissenyat per confirmar que cadascun d'aquests mapes tenien la propietat de poder ser acolorits amb quatre colors. A més, qualsevol mapa (independentment de si es tracta d'un contraexemple o no) ha de tenir una porció que s'assembla a un d'aquests 1.936 mapes. Demostrar això va requerir centenars de pàgines d'anàlisi a mà. Appel i Haken van arribar a la conclusió que no existien contraexemples més petits, ja que qualsevol hauria de contenir, però en canvi no conté, un d'aquests 1.936 mapes. Aquesta contradicció significa que no hi ha en realitat cap contraexemple i que, per tant, el teorema és cert. Inicialment, la seva demostració no va ser acceptada per tots els matemàtics, perquè la demostració assistida per ordinador era impossible de comprovar a mà per un humà. Des de llavors, la prova ha guanyat més acceptació, encara que persisteixen alguns dubtes. Per dissipar els dubtes restants sobre la demostració d'Appel-Haken, el 1997 Robertson, Sanders, Seymour i Thomas van publicar una demostració més senzilla que utilitzava les mateixes idees i que seguia basant-se en els ordinadors. A més, el 2005 Georges Gonthier va demostrar el teorema utilitzant programari de demostració de teoremes de propòsit general.
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Problém čtyř barev či také věta o čtyřech barvách je (již kladně vyřešený) problém z teorie grafů, který zní: „Stačí čtyři barvy na obarvení libovolné politické mapy tak, aby žádné dva sousedící státy nebyly obarveny stejnou barvou?“ (Za sousední státy jsou považovány takové, že mají společnou hraniční čáru tj. nesousedí spolu jen v jednom bodě.) Obecněji se lze tázat na minimální potřebný počet barev, lze však poměrně snadno dokázat, že pět barev postačuje. Oproti tomu tvrzení, že čtyři barvy stačí, dlouhou dobu odolávalo všem pokusům o důkaz, nikdo však také nebyl schopen nalézt mapu, která by ho vyvrátila. Větu dokázali až roku 1976 američtí matematici Kenneth Appel a Wolfgang Haken tím, že pomocí počítačového programu vymodelovali 1936 možných konfigurací, dokázali, že tyto konfigurace pokrývají všechny možnosti, a u každé z nich ukázali, že pro její obarvení čtyři barvy stačí (k tomu potřeboval 1200 hodin procesorového času). Tento důkaz však velká část matematiků odmítá akceptovat, protože ho žádný matematik není schopen přímo zkontrolovat. (Od té doby byl důkaz mnohokrát nezávisle zopakován a zjednodušen dalšími matematiky pomocí jiných programů, ale „hezký“ důkaz vhodný pro člověka nalezen nebyl.)
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مبرهنة الألوان الأربعة تنص على أنه يمكن لأي مستوى مقسّم إلى عدّة مناطق أن يلّون فقط بأربعة ألوان على أكثر تقدير, بحيث لا تلون منطقتان متجاورتان (لهما نفس الحدود) بنفس اللون، إلا في حالة تشاركهما في نقطة واحدة.
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Στα μαθηματικά το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, ή το θεώρημα των χαρτών των τεσσάρων χρωμάτων δηλώνει ότι, δεδομένου του διαχωρισμού ενός επιπέδου σε περιοχές, παράγοντας έτσι ένα χάρτη, δεν απαιτούνται περισσότερα από τέσσερα χρώματα για να χρωματιστούν οι περιοχές του χάρτη, έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές περιοχές με τα ίδια χρώματα. Δύο περιοχές ονομάζονται γειτονικές αν έχουν ένα κοινό σύνορο, χωρίς να σχηματίζουν κορυφή, καθώς οι κορυφές αποτελούν σημεία που είναι κοινά για τρεις ή περισσότερες περιοχές. Για παράδειγμα, στο χάρτη των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής, η Γιούτα και η Αριζόνα είναι γειτονικές πολιτείες, αλλά η Γιούτα και το Νέο Μεξικό, οι οποίες έχουν μόνο ένα κοινό σημείο το οποίο ανήκει επίσης στην Αριζόνα και το Κολοράντο, δεν είναι. Παρά το κίνητρο του , το θεώρημα δεν έχει βρει την ανάλογη ανταπόκριση από τους σχεδιαστές των χαρτών. Σύμφωνα με ένα άρθρο του ιστορικού μαθηματικού (Kenneth May) , «οι χάρτες που χρησιμοποιούν μόνο τέσσερα χρώματα είναι σπάνιοι, αλλά και εκείνοι που χρησιμοποιούν συνήθως απαιτούν μόνο τρία. Τα βιβλία για τη χαρτογραφία και η ιστορία της σχεδίασης χαρτών δεν αναφέρουν την ιδιότητα των τεσσάρων χρωμάτων». Τρία χρώματα αρκούν για τους πιο απλούς χάρτες, αλλά ένα επιπλέον τέταρτο χρώμα είναι απαραίτητο για κάποιους χάρτες, όπως ένας χάρτης στον οποίο μία περιοχή περιβάλλεται από έναν περιττό αριθμό άλλων περιοχών που συνορεύουν σε έναν κύκλο. Το το οποίο έχει μια μικρή απόδειξη σε αρχικό στάδιο, δηλώνει ότι πέντε χρώματα αρκούν για να χρωματίσουν έναν χάρτη, και είχε αποδειχθεί στα τέλη του 19ου αιώνα∙ ωστόσο, η απόδειξη του αξιώματος ότι τέσσερα χρώματα αρκούν, αποδείχθηκε να είναι ιδιαίτερα δυσκολότερη. Μετά την πρώτη δήλωση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων, το 1852, εμφανίστηκαν πολλές αναληθείς αποδείξεις και . Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων αποδείχθηκε το 1976 από τον Kenneth Appel και τον Wolfgang Haken. Ήταν το πρώτο σημαντικό θεώρημα που . Η προσέγγιση του Appel και του Haken ξεκίνησε αποδεικνύοντας ότι υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός 1.936 χαρτών, ο καθένας από τους οποίους δεν μπορεί να αποτελέσει μέρος ενός από τα μικρότερου μεγέθους αντιπαραδείγματα του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων. Οι Appel και Haken χρησιμοποίησαν ένα ειδικά φτιαγμένο πρόγραμμα υπολογιστή για να επιβεβαιώσει ότι καθένας από αυτούς τους χάρτες είχε αυτήν την ιδιότητα. Επιπλέον, οποιοσδήποτε χάρτης (ανεξάρτητα από το αν είναι αντιπαράδειγμα ή όχι) θα πρέπει να έχει μία περιοχή που να μοιάζει με έναν από εκείνους τους 1.936 χάρτες. Για να αποδειχθεί αυτό απαιτήθηκαν εκατοντάδες σελίδες χειρόγραφων αναλύσεων. Ο Appel και ο Haken συμπέραναν ότι δεν υπήρχαν μικρότερα αντιπαραδείγματα, καθώς κάποιος θα πρέπει να περιλαμβάνει, αν και δεν περιλαμβάνει, έναν από αυτούς τους 1.936 χάρτες. Αυτή η αντίφαση δείχνει ότι δεν υπάρχουν καθόλου αντιπαραδείγματα και ότι, κατά συνέπεια, το θεώρημα είναι αληθές. Αρχικά, η απόδειξή τους δεν έγινε αποδεκτή από όλους τους μαθηματικούς, καθώς δεν ήταν εφικτό να ελεγχθούν από τον άνθρωπο. Από τότε η απόδειξη του θεωρήματος έχει κερδίσει ευρύτερη αποδοχή, παρόλο που οι αμφιβολίες παραμένουν . Για να διαλυθούν οι αμφιβολίες που παρέμεναν σχετικά με την απόδειξη των Appel – Haken, το 1997 δημοσιεύθηκε μία απλούστερη απόδειξη, που χρησιμοποιούσε την ίδια ιδέα και παρέμενε βασισμένη σε υπολογιστές, από τους Robertson, Sanders, Seymour, και Thomas. Επιπλέον, το 2005, το θεώρημα αποδείχθηκε από τον Georges Gonthier με λογισμικό απόδειξης γενικών θεωρημάτων.
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La kvarkolormapa teoremo (aŭ la teoremo pri kvar koloroj) estas (jam pozitive solvita) problemo el teorio de grafeoj, kiu temas pri tio, ĉu sufiĉas kvar koloroj por kolorigi ajnan politikan mapon tiel, ke neniuj du najbarantaj ŝtatoj estu kolorigitaj per la sama koloro. (Kiel najbaraj ŝtatoj estas konsiderataj tiaj, kiuj havas komunan limlinion, t.e. ili ne najbaras komune nur en unu punkto.) Pli ĝenerale eblas demandi al minimuma bezonata nombro de koloroj, sed relative facile eblas pruvi, ke kvin koloroj sufiĉas. Kontraŭe la aserto, ke kvar koloroj sufiĉas, rezistis longan tempon al ĉiuj provoj por pruvi tion, sed ankaŭ neniu kapablis trovi mapon, kiu estas kontraŭekzemplo. La teoremon pruvis nur en la jaro 1976 la usona matematikisto kaj la germana matematikisto per tio, ke helpe de komputila programo ili modelis 1936 eblajn konfigurojn, pruvis, ke tiuj ĉi konfiguroj kovras ĉiujn eblecojn, kaj montris ĉe ĉiu el ili, ke por kolorigi ĝin sufiĉas kvar koloroj (ĝi bezonis por tio 1200 horojn de procesora tempo). Kelkaj matematikistoj rifuzis akcepti tiun ĉi pruvon, ĉar neniu matematikisto kapablas rekte verkontroli ĝin. (Ekde tiu tempo la pruvo estis multfoje sendepende ripetita kaj simpligita fare de pluaj matematikistoj helpe de aliaj programoj, sed "bela" pruvo konvena por homo ne estis trovita.)
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Der Vier-Farben-Satz (auch Vier-Farben-Theorem, früher auch als Vier-Farben-Vermutung oder Vier-Farben-Problem bekannt) ist ein mathematischer Satz und besagt, dass vier Farben immer ausreichen, eine beliebige Landkarte in der euklidischen Ebene so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche Farbe bekommen. Der Satz findet Anwendung in der Graphentheorie, Topologie und Kartografie. Dies gilt unter den Einschränkungen, dass isolierte gemeinsame Punkte nicht als „Grenze“ zählen und jedes Land aus einer zusammenhängenden Fläche besteht, also keine Exklaven vorhanden sind.
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In mathematics, the four color theorem, or the four color map theorem, states that no more than four colors are required to color the regions of any map so that no two adjacent regions have the same color. Adjacent means that two regions share a common boundary curve segment, not merely a corner where three or more regions meet. It was the first major theorem to be proved using a computer. Initially, this proof was not accepted by all mathematicians because the computer-assisted proof was infeasible for a human to check by hand. The proof has gained wide acceptance since then, although some doubters remain. The four color theorem was proved in 1976 by Kenneth Appel and Wolfgang Haken after many false proofs and counterexamples (unlike the five color theorem, proved in the 1800s, which states that five colors are enough to color a map). To dispel any remaining doubts about the Appel–Haken proof, a simpler proof using the same ideas and still relying on computers was published in 1997 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas. In 2005, the theorem was also proved by Georges Gonthier with general-purpose theorem-proving software.
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Lau koloreen teorema grafoak koloreztatzeko teorema bat da eta honek ondorengoa dio: eskualde auzokidez osaturiko edozein mapa, oso korapilatsua izanda ere, lau kolorez margo daiteke, aldameneko bi eskualdek beti kolore ezberdinak dituztela. Hiru kolorerekin ordea, ezin da edozein mapa margotu. Bost kolorerekin berriz, bai, teorema frogatzeko errazagoa izanik. Lau koloreen problema lehenengo aldiz planteatu zuen 1852. urtean. Planteatu eta mende bat igaro ostean, 1976. urtean, eta problema frogatu zuten konputagailu baten laguntzarekin.
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En teoría de grafos, el teorema de los cuatro colores (o teorema de la minimalidad cromática) es un teorema sobre la coloración de grafos que establece lo siguiente: Asumiendo que las regiones adyacentes comparten no solo un punto, sino todo un segmento de borde (frontera) en común. Tres colores son suficientes para mapas simples, pero en algunos casos es necesario un cuarto color adicional, esto es, cuando una región a colorear queda encerrada por un número impar de regiones que se tocan formando un ciclo. El , cuya demostración es corta y elemental, establece que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue probado en el siglo XIX por Heawood. Una serie de pruebas falsas y falsos contraejemplos han aparecido desde el primer enunciado del teorema de los cuatro colores en 1852. El problema del mapa de cuatro colores fue planteado, por primera vez, por el estudiante Francis Guthrie en 1852, lo que fue comunicado a Augustus de Morgan. La conjetura se hizo famosa con la declaración de Arthur Cayley, en 1878, en el sentido de que la había abordado. Fue resuelto, a mediados de 1970, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.
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Tairiscint mhatamaiticiúil gur féidir gach léarscáil ar dhromchla plánach a dhathú, gan úsáid a bhaint ach as 4 dhath ar a mhéid. Is léir nach leor 3 dhath chun réigiúin le comhtheorainneacha a idirdhealú. Thairg Francis Guthrie (1831-1899) den chéad uair i 1852 conas a chruthú gur leor 4 dhath i gcomhair gach léarscála, is cuma cruthanna na réigiún. Ach níor cruthaíodh é seo go dtí 1976 nuair a bhain na matamaticeoirí Meiriceánacha Kenneth Appel (1932-2013) is Wolfgang Haken (1928-) feidhm as ríomhairí chun cruthú sásúil a thabhairt faoi dheireadh.
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Le théorème des quatre couleurs indique qu'il est possible, en n'utilisant que quatre couleurs différentes, de colorier n'importe quelle carte découpée en régions connexes, de sorte que deux régions adjacentes (ou limitrophes), c'est-à-dire ayant toute une frontière (et non simplement un point) en commun reçoivent toujours deux couleurs distinctes. L'énoncé peut varier et concerner, de manière tout à fait équivalente, la coloration des faces d'un polyèdre ou celle des sommets d'un graphe planaire, en remplaçant la carte par un graphe dont les sommets sont les régions et les arêtes sont les frontières entre régions. Trivialement, chacune des régions doit recevoir une couleur différente si les régions sont deux à deux adjacentes ; c'est le cas par exemple de la Belgique, du Luxembourg, de l'Allemagne et de la France dans une carte politique de l'Europe, d'où la nécessité des quatre couleurs dans le cas général. Par ailleurs, il ne peut exister cinq régions connexes deux à deux adjacentes (c'est la partie facile du théorème de Kuratowski). Même si l'énoncé de ce théorème est élémentaire, on n'en connaît pas de preuve simple. Les démonstrations connues décomposent le problème en un nombre de sous-cas tellement important qu'elles nécessitent l'assistance d'un ordinateur pour être vérifiées. Le théorème se généralise à certaines classes de graphes non planaires. Cependant, lorsqu'on généralise le problème à un graphe quelconque, il devient NP-complet de déterminer s'il est coloriable avec seulement quatre couleurs (ou même trois).
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Masalah Guthrie atau Teorema Empat Warna menyatakan bahwa setiap peta dapat diwarnai dengan menggunakan empat warna, sehingga daerah yang berbatasan tidak memiliki warna yang sama. Pada tahun 1976, Masalah Guthrie menjadi teorema matematika pertama yang , akan tetapi ditolak akibat pembuktiannya yang . Sejak saat itu, bukti ini telah diterima secara luas, meskipun beberapa orang masih meragukannya. Teorema empat warna dibuktikan pada tahun 1976 oleh dan setelah banyak pembuktian dan counterexample yang keliru (tidak seperti , teorema yang menyatakan bahwa lima warna cukup untuk mewarnai peta, yang dibuktikan pada tahun 1800-an). Untuk menghilangkan keraguan yang tersisa tentang pembuktian Appel-Haken, pembuktian yang lebih sederhana menggunakan ide yang sama dan masih mengandalkan komputer diterbitkan pada tahun 1997 oleh Robertson, Sanders, Seymour, dan Thomas. Selain itu, pada tahun 2005, teorema tersebut dibuktikan oleh dengan tujuan umum.
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四色定理（よんしょくていり／ししょくていり、英: Four color theorem）とは、厳密ではないが日常的な直感で説明すると「平面上のいかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗り分けるには4色あれば十分だ」という定理である。
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Il teorema dei quattro colori è un teorema di matematica che afferma che data una superficie piana divisa in regioni connesse, come ad esempio una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno una linea di confine in comune. Ciascuna regione deve inoltre occupare un territorio connesso, cioè non deve essere formata da due o più parti sconnesse, ovvero con la presenza di exclavi. È immediato trovare mappe per le quali tre soli colori non sono sufficienti. Non è eccessivamente difficile dimostrare che ne bastano al più cinque.Tuttavia dimostrare che ne siano sufficienti quattro è particolarmente complesso, tanto che la dimostrazione di questo teorema ha richiesto, tra l'altro, un estensivo ricorso al computer, per una delle prime volte nella storia della matematica.
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4색 정리(四色定理) 또는 4색 문제(四色問題)는 평면을 유한 개의 부분으로 나누어 각 부분에 색을 칠할 때, 서로 맞닿은 부분을 다른 색으로 칠한다면 네 가지 색으로 충분하다는 정리이다. 이 문제는 지도에서 서로 맞닿은 지역에 다른 색을 칠한다는 것에서 착안해 만들어졌다. 세 가지 색으로는 평면을 칠할 수 없다는 것은 를 찾는 것으로 증명할 수 있다. 또한 다섯 가지 색으로 칠하는 것이 가능하다는 것도 증명되어 있다. 하지만 네 가지 색으로 가능한지에 대한 문제는 오랫동안 미해결 상태였다. 평면을 여러 개의 부분으로 나누는 가짓수를 무한 개에서 유한 개로 줄인 증명이 발표된 후, 이후 이 유한 개의 경우를 모두 컴퓨터 계산을 통해 검사하였다. 즉, 이 문제는 컴퓨터를 이용한 증명으로, 일부 사람들은 이러한 증명은 진정한 의미의 수학적인 증명이 아니라고 생각하고, 더욱 간단한 방법의 증명을 찾는 사람들도 있다.
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Twierdzenie o czterech barwach – dla każdego skończonego grafu planarnego istnieje funkcja taka że czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby. Jest to jeden z najsłynniejszych problemów matematycznych. Sformułowanie równoważne (mniej ścisłe matematycznie, lecz bardziej przemawiające do wyobraźni): dowolną mapę polityczną, na płaszczyźnie lub sferze, można zabarwić czterema kolorami tak, aby każde dwa kraje mające wspólną granicę (nie tylko wspólny wierzchołek) miały inne kolory (zakładamy, że wszystkie państwa są spójne terytorialnie). Równoważność tych dwóch sformułowań łatwo zauważyć wyróżniając w każdym „kraju” „stolicę” i prowadząc „drogi” pomiędzy stolicami każdych dwóch sąsiednich krajów. Przechodzimy wówczas z mapy politycznej do grafu opisanego w pierwszym z obu sformułowań twierdzenia. Analogicznie można przejść w przeciwną stronę. Hipotezę o prawdziwości twierdzenia postawił już w roku 1840 August Ferdinand Möbius, a w roku 1852 (niezależnie) Francis Guthrie (1831–1899), wówczas student University College London, ale pełny dowód został przeprowadzony dopiero w 1976 roku przez i Kennetha Appela. Dowód wszakże był bardzo „brzydki”, gdyż wymagał sprawdzenia 1936 przypadków szczególnych przy pomocy komputera. Pojawiały się nawet wątpliwości, czy dowód jest poprawny. Wątpliwości te usunięto za pomocą jego modyfikacji w 1994, a w 2004 udało się potwierdzić poprawność przy użyciu komputerowego asystenta. Nikt dotąd nie udowodnił twierdzenia o czterech barwach bez komputerowego wspomagania, choć wymyślono pewne uproszczenia oryginalnego dowodu. Przypadek ten stał się okazją do dyskusji na temat dopuszczalnych metod dowodowych w matematyce.
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De vierkleurenstelling is de stelling in de wiskunde dat het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen, dus zonder exclaves, met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. De vierkleurenstelling kan in de terminologie van de grafentheorie worden beschreven als een probleem van het kleuren van grafen: Van elke planaire graaf kunnen de knopen op een dusdanige wijze in vier groepen worden verdeeld, dat geen enkele zijde twee knopen van dezelfde groep verbindt. Het blijkt uit deze formulering al, dat de vierkleurenstelling niet per se met kleuren te maken heeft: in plaats van kleurmarkeringen kan men willekeurig vier andere markeringen gebruiken, zonder dat gelijke markeringen aan elkaar grenzen. Hoewel er nergens in de wereld meer een echt vierlandenpunt is, zouden voor een dergelijk punt twee kleuren voldoende zijn.
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Fyrfärgssatsen, eller fyrfärgsteoremet, är ett matematiskt teorem som säger att det inte behövs mer än fyra färger för att färglägga varje möjlig geografisk karta på ett sådant sätt att inga angränsande regioner har samma färg. Två regioner sägs vara angränsande om de har en gemensam gräns, inte bara en punkt. Satsen framlades 1852 av britten Francis Guthrie. Ett kort och felaktigt bevis publicerades av 1879. Felet i beviset upptäcktes 1890 av som också visade att fem färger är tillräckligt. Det är också lätt att hitta konkreta exempel där tre färger inte räcker. Att fyra färger är tillräckligt var länge en berömd obevisad hypotes och det var först 1976 som satsen slutligen bevisades av Kenneth Appel och Wolfgang Haken vid University of Illinois. Beviset reducerade ett oändligt antal möjliga kartor till 1 936 olika situationer (senare reducerat till 1 476), varav någon måste finnas i varje tänkbar karta. Man visade sedan att om en karta innehåller någon av dessa alternativ som en del, så kan kartan förenklas, och om den förenklade kartan kan färgläggas med endast fyra färger så kan även den ursprungliga kartan det. Som hjälp att kontrollera de olika fallen användes ett datorprogram. Deras arbete dubbelkontrollerades sedan med andra program och datorer. 1996 konstruerade , Daniel Sanders, och ett liknande bevis som krävde att 633 olika fall kontrollerades. Det nya beviset innehåller delar som kräver att en dator används och som det inte är praktiskt möjligt för en människa att själv kontrollera. Fyrfärgssatsen var det första större teorem som bevisades med hjälp av datorer, och beviset accepterades till en början inte av alla matematiker eftersom det inte direkt enkelt kunde kontrolleras av en människa. En annan del i kritiken var avsaknaden av matematisk elegans.
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Em matemática, o teorema das quatro cores, ou teorema do mapa das quatro cores, afirma que não mais do que quatro cores são necessárias para colorir as regiões de qualquer mapa, de modo que duas regiões adjacentes não tenham a mesma cor. Adjacente significa que duas regiões compartilham um segmento de curva limite comum, não apenas um canto onde três ou mais regiões se encontram. Foi o primeiro teorema importante a ser provado usando um computador. Inicialmente, essa prova não foi aceita por todos os matemáticos porque a prova assistida por computador era inviável para um ser humano verificar manualmente. Desde então, a prova ganhou ampla aceitação, embora alguns questionadores permaneçam. A sua formulação é a seguinte: Dado um mapa plano, dividido em regiões, quatro cores são suficientes para colori-lo de forma a que regiões vizinhas não partilhem a mesma cor. O teorema das quatro cores foi provado em 1976 por Kenneth Appel e Wolfgang Haken após muitas provas e contra-exemplos falsos (ao contrário do teorema das cinco cores, provado na década de 1800, que afirma que cinco cores são suficientes para colorir um mapa). Para dissipar quaisquer dúvidas remanescentes sobre a prova Appel-Haken, uma prova mais simples usando as mesmas idéias e ainda contando com computadores foi publicada em 1997 por Robertson, Sanders, Seymour e Thomas. Além disso, em 2005, o teorema foi provado por Georges Gonthier com software de prova de teorema de uso geral.
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Теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на плоскости или на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы имели разный цвет. При этом области должны быть связными (то есть область не может состоять из двух и более отдельных «кусков»), а граница должна быть неточечной (в одной точке своими углами может соприкасаться сколько угодно областей, в том числе окрашенных в один цвет). В 1852 году , составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели хватает четырёх красок. Его брат Фредерик сообщил об этом наблюдении известному математику Огастесу де Моргану, а тот — математической общественности. Точную формулировку гипотезы опубликовал Артур Кэли (1878). Доказать теорему долгое время не удавалось. Было предпринято множество попыток как доказательства, так и опровержения, и эта задача носила название проблемы четырёх красок. Для простых карт достаточно и трёх цветов, а четвёртый цвет начинает требоваться, например, когда имеется одна область, окружённая нечётным числом других, которые соприкасаются друг с другом, образуя цикл. Теорема о пяти красках, утверждающая, что достаточно пяти цветов, имела короткое несложное доказательство и была доказана в конце XIX века, но доказательство теоремы для случая четырёх цветов столкнулось со значительными трудностями. Теорема о четырёх красках была доказана в 1976 году и из Иллинойского университета. Это была первая крупная математическая теорема, доказанная с помощью компьютера. Первым шагом доказательства была демонстрация существования определённого набора из 1936 карт, ни одна из которых не может содержать карту меньшего размера, которая опровергала бы теорему. Авторы использовали специальную компьютерную программу, чтобы доказать это свойство для каждой из 1936 карт. Доказательство этого факта заняло сотни страниц. После этого Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера к теореме, потому что иначе он должен был бы содержать какую-нибудь из этих 1936 карт, чего нет. Это противоречие говорит о том, что контрпримера нет вообще. Изначально доказательство было принято не всеми математиками, поскольку его невозможно проверить вручную. В дальнейшем оно получило более широкое признание, хотя у некоторых долгое время оставались сомнения. Чтобы развеять оставшиеся сомнения, в 1997 году Робертсон, Сандерс, Сеймур и Томас опубликовали более простое доказательство, использующее аналогичные идеи, но по-прежнему проделанное с помощью компьютера. Кроме того, в 2005 году доказательство было проделано Джорджсом Гонтиром с использованием специализированного программного обеспечения (Coq v7.3.1).
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Пробле́ма чотирьо́х фарб — математична задача, запропонована 1852 року. Інакше кажучи, показати, що хроматичне число плоского графу не перевищує 4.
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四色定理（英語：four color theorem）又稱為四色地圖定理（英語：four color map theorem），是一个著名的数学定理：如果在平面上劃出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个无外飞地的地图都可以用不多於四种颜色来染色，而且不會有两个邻接的区域颜色相同。被称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的圆形中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是邻接区域。 “是否只用四种颜色就能为所有地图染色?”的问题最早是由南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。 1976年，数学家凱尼斯·阿佩爾和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到一个完全的证明，四色问题也终于成为四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。
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