Faithful representation
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数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、群 G のベクトル空間 V 上における忠実表現（ちゅうじつひょうげん、英: faithful representation）ρ とは、G の異なる元 g が GL(V) の異なる線型写像 ρ(g) に対応する線型表現のことである。 より抽象的な言葉では、これは群準同型 ρ: G → GL(V) が単射であることを意味する。あるいは核 Ker(ρ) が自明であると言い換えることもできる。 たとえば正則表現は忠実表現のひとつである。 注意：G の体 K 上の表現は事実上 K[G] 加群と同じである（K[G] は群 G の群環を表す）が、G の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実 K[G] 加群は G の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群 Sn の置換行列による n 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は n! である一方 n × n 行列の全体は n2 次元のベクトル空間をなすので、n が 4 以上であれば、次元勘定により（24 > 16 だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。
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In mathematics, especially in an area of abstract algebra known as representation theory, a faithful representation ρ of a group G on a vector space V is a linear representation in which different elements g of G are represented by distinct linear mappings ρ(g). In more abstract language, this means that the group homomorphism is injective (or one-to-one).
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Faithful representation
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忠実表現
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faithful representation
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In mathematics, especially in an area of abstract algebra known as representation theory, a faithful representation ρ of a group G on a vector space V is a linear representation in which different elements g of G are represented by distinct linear mappings ρ(g). In more abstract language, this means that the group homomorphism is injective (or one-to-one). Caveat: While representations of G over a field K are de facto the same as K[G]-modules (with K[G] denoting the group algebra of the group G), a faithful representation of G is not necessarily a faithful module for the group algebra. In fact each faithful K[G]-module is a faithful representation of G, but the converse does not hold. Consider for example the natural representation of the symmetric group Sn in n dimensions by permutation matrices, which is certainly faithful. Here the order of the group is n! while the n × n matrices form a vector space of dimension n2. As soon as n is at least 4, dimension counting means that some linear dependence must occur between permutation matrices (since 24 > 16); this relation means that the module for the group algebra is not faithful.
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数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、群 G のベクトル空間 V 上における忠実表現（ちゅうじつひょうげん、英: faithful representation）ρ とは、G の異なる元 g が GL(V) の異なる線型写像 ρ(g) に対応する線型表現のことである。 より抽象的な言葉では、これは群準同型 ρ: G → GL(V) が単射であることを意味する。あるいは核 Ker(ρ) が自明であると言い換えることもできる。 たとえば正則表現は忠実表現のひとつである。 注意：G の体 K 上の表現は事実上 K[G] 加群と同じである（K[G] は群 G の群環を表す）が、G の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実 K[G] 加群は G の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群 Sn の置換行列による n 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は n! である一方 n × n 行列の全体は n2 次元のベクトル空間をなすので、n が 4 以上であれば、次元勘定により（24 > 16 だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。
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