Duality (order theory)
http://dbpedia.org/resource/Duality_(order_theory) an entity of type: Abstraction100002137
In the mathematical area of order theory, every partially ordered set P gives rise to a dual (or opposite) partially ordered set which is often denoted by Pop or Pd. This dual order Pop is defined to be the same set, but with the inverse order, i.e. x ≤ y holds in Pop if and only if y ≤ x holds in P. It is easy to see that this construction, which can be depicted by flipping the Hasse diagram for P upside down, will indeed yield a partially ordered set. In a broader sense, two partially ordered sets are also said to be duals if they are dually isomorphic, i.e. if one poset is order isomorphic to the dual of the other.
rdf:langString
En el área matemática de la teoría del orden, cada conjunto parcialmente ordenado P da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (también denominado opuesto) que a menudo se denota por Pop o Pd. Este orden dual Pop se define como el conjunto con el orden inverso, es decir, los x ≤ y se mantiene en Pop si y solo si los y ≤ x se mantiene en P. Es fácil ver que esta construcción, que se puede representar dando la vuelta al diagrama de Hasse de P, dará un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, también se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son duales si son doblemente isomorfos, es decir, si un conjunto parcialmente ordenado es al dual del otro.
rdf:langString
Принцип двоїстості в частково впорядкованій множині: якщо правильна яка-небудь теорема про частково впорядковану множину, сформульована в загально-логічних термінах і термінах порядку, то вірна і двоїста до неї теорема. Для отримання теореми, двоїстої до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на двоїсті (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін. Теорема (принцип двоїстості).Відношення, обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку.
rdf:langString
rdf:langString
Dualidad (teoría del orden)
rdf:langString
Duality (order theory)
rdf:langString
Двоїстість (теорія порядку)
xsd:integer
600618
xsd:integer
1085262297
rdf:langString
In the mathematical area of order theory, every partially ordered set P gives rise to a dual (or opposite) partially ordered set which is often denoted by Pop or Pd. This dual order Pop is defined to be the same set, but with the inverse order, i.e. x ≤ y holds in Pop if and only if y ≤ x holds in P. It is easy to see that this construction, which can be depicted by flipping the Hasse diagram for P upside down, will indeed yield a partially ordered set. In a broader sense, two partially ordered sets are also said to be duals if they are dually isomorphic, i.e. if one poset is order isomorphic to the dual of the other. The importance of this simple definition stems from the fact that every definition and theorem of order theory can readily be transferred to the dual order. Formally, this is captured by the Duality Principle for ordered sets: If a given statement is valid for all partially ordered sets, then its dual statement, obtained by inverting the direction of all order relations and by dualizing all order theoretic definitions involved, is also valid for all partially ordered sets. If a statement or definition is equivalent to its dual then it is said to be self-dual. Note that the consideration of dual orders is so fundamental that it often occurs implicitly when writing ≥ for the dual order of ≤ without giving any prior definition of this "new" symbol.
rdf:langString
En el área matemática de la teoría del orden, cada conjunto parcialmente ordenado P da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (también denominado opuesto) que a menudo se denota por Pop o Pd. Este orden dual Pop se define como el conjunto con el orden inverso, es decir, los x ≤ y se mantiene en Pop si y solo si los y ≤ x se mantiene en P. Es fácil ver que esta construcción, que se puede representar dando la vuelta al diagrama de Hasse de P, dará un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, también se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son duales si son doblemente isomorfos, es decir, si un conjunto parcialmente ordenado es al dual del otro. La importancia de esta simple definición proviene del hecho de que cada definición y teorema de la teoría del orden puede transferirse fácilmente al orden dual. Formalmente, este hecho es definido en el principio de dualidad para conjuntos ordenados: Si un enunciado dado es válido para todos los conjuntos parcialmente ordenados, entonces su declaración dual, obtenida invirtiendo la dirección de todas las relaciones de orden y mediante la dualización de todas las definiciones teóricas de orden involucradas, también es válida para todos los conjuntos parcialmente ordenados. Si una declaración o definición es equivalente a su dual, entonces se dice que es autodimensional. Téngase en cuenta que la consideración de órdenes duales es tan fundamental que a menudo ocurre implícitamente cuando se escribe ≥ para la orden dual de ≤ sin dar ninguna definición previa de este símbolo "nuevo".
rdf:langString
Принцип двоїстості в частково впорядкованій множині: якщо правильна яка-небудь теорема про частково впорядковану множину, сформульована в загально-логічних термінах і термінах порядку, то вірна і двоїста до неї теорема. Для отримання теореми, двоїстої до даної, всі вислови і поняття, що відносяться до порядку, замінюються на двоїсті (тобто всі знаки порядку < замінюються на >, і навпаки), а загально-логічні терміни залишаються без змін. Теорема (принцип двоїстості).Відношення, обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку. Доведення.Нехай R-1 – відношення, обернене до відношення часткового порядку R.Покажемо, що R-1 є відношенням часткового порядку. 1.
* рефлексивність: оскільки I⊆R, то I = I-1⊆ R-1 2.
* транзитивність: якщо R◦R ⊆ R, то R-1◦R-1 = (R◦R)-1⊆ R-1. 3.
* антисиметричність: якщо R∩R-1⊆ I (умова антисиметричності), то R-1∩R ⊆ I Відношення часткового порядку R-1 називається двоїстим до відношення часткового порядку R. Відношення ≤-1позначається ≥ і a≤-1b означає a≥b. Якщо a≤b або b≤a, то a, b називаються елементами, що порівнюються відносно порядку ≤. Із справедливості деякого твердження для конкретної частково впорядкованої множини (або для конкретного класу частково впорядкованої множини ) ще не витікає справедливість двоїстого твердження для цієї множини. Так, частково впорядкована множина може мати найменший елемент, але не мати найбільшого, вона може задовольняти умові мінімальності, але не задовольняти умові максимальності. Справедливість принципу двоїстості витікає з того, що відношення, зворотне до часткового порядку, саме є частковим порядком. Інколи під принципом двоїстості розуміють саме це твердження.
xsd:nonNegativeInteger
3680
