Divisible group

rdf:langString Teilbare Gruppe

rdf:langString In der Mathematik heißt eine Gruppe G teilbar oder dividierbar, falls man jedes Gruppenelement durch jede natürliche Zahl teilen kann. Gemeint ist damit: Zu jedem Gruppenelement und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein Gruppenelement , so dass gilt. Hierbei wurde die Gruppenverknüpfung mit einem Stern geschrieben. Wird (wie bei abelschen Gruppen üblich) die Verknüpfung in der Gruppe als Addition geschrieben, so bedeutet die definierende Bedingung:Zu jedem und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein mit . Jedes Gruppenelement ist also durch teilbar. Schreibt man die Verknüpfung wie bei allgemeinen Gruppen üblich als Multiplikation, so bedeutet die Bedingung:Zu jedem und zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein mit Es existiert also eine -te Wurzel aus . Hintergrund ist die naheliegende Frage: Wann ist eine Zahl durch eine natürliche Zahl teilbar oder dividierbar? Dies wird auf Gruppen verallgemeinert. Schon Euklid beschrieb das Problem: Für welche Zahlen ist die Gleichung lösbar. Welche Zahlen sind Vielfache einer gegebenen natürlichen Zahl. . Ein auf den ersten Blick anderes Thema behandelt Euklid im 10. Buch und beweist: Es gibt keinen Bruch, welcher die Gleichung löst. Für welche Zahlen ist die Gleichung lösbar? Drückt man diese beiden Fragen mit Hilfe von Abbildungen aus, so leuchtet der gemeinsame Hintergrund auf. * Ist , so ist die Abbildung nicht surjektiv. Aber die Abbildung ist surjektiv. * Die Abbildung ist nicht surjektiv. Aber die Abbildung ist surjektiv. Diese Beobachtung legt es nahe, von den ganzen Zahlen und den Brüchen zu abstrahieren.