Discontinuous linear map
http://dbpedia.org/resource/Discontinuous_linear_map an entity of type: WikicatMathematicalTheorems
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation). If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous. It turns out that for maps defined on infinite-dimensional topological vector spaces (e.g., infinite-dimensional normed spaces), the answer is generally no: there exist discontinuous linear maps. If the domain of definition is complete, it is trickier; such maps can be proven to exist, but the proof relies on the axiom of choice and does not provide an explicit example.
rdf:langString
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function）が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。
rdf:langString
Operator liniowy nieciągły – operator liniowy (przekształcenie liniowe), który nie jest ciągły. Odwzorowania tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż operatory liniowe stanowią klasę funkcji w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta), to mimo wszystko należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej.
rdf:langString
rdf:langString
Discontinuous linear map
rdf:langString
不連続線型写像
rdf:langString
Operator liniowy nieciągły
xsd:integer
3531066
xsd:integer
1119699098
rdf:langString
In mathematics, linear maps form an important class of "simple" functions which preserve the algebraic structure of linear spaces and are often used as approximations to more general functions (see linear approximation). If the spaces involved are also topological spaces (that is, topological vector spaces), then it makes sense to ask whether all linear maps are continuous. It turns out that for maps defined on infinite-dimensional topological vector spaces (e.g., infinite-dimensional normed spaces), the answer is generally no: there exist discontinuous linear maps. If the domain of definition is complete, it is trickier; such maps can be proven to exist, but the proof relies on the axiom of choice and does not provide an explicit example.
rdf:langString
数学において、線型写像は線型空間の「単に」代数構造を保つ写像の重要なクラスを成し、またより一般の写像を近似するのにも用いられる（一次近似）。空間に位相も入れて（つまり、位相線型空間を）考えるならば、全ての線型写像は果たして連続であるか、という問いを考えることに意味が生まれる。そして、無限次元位相線型空間（例えば無限次元ノルム空間）上で定義される線型写像を考えるとき、この問いの答えは一般には否であって、不連続線型写像（ふれんぞくせんけいしゃぞう、英: discontinuous linear function）が存在するのである。定義域が完備ならば、不連続線型写像の存在が証明できるが、それには選択公理を必要とするため、証明から明示的な例を得ることはできない。
rdf:langString
Operator liniowy nieciągły – operator liniowy (przekształcenie liniowe), który nie jest ciągły. Odwzorowania tego typu mogą pojawić się jedynie w kontekście przestrzeni nieskończeniewymiarowych. Ze względu na fakt, iż operatory liniowe stanowią klasę funkcji w pewnym sensie naturalnych (zachowują one strukturę algebraiczną przestrzeni liniowych; stosuje się je często w celu przybliżenia ogólniejszych funkcji – zob. aproksymacja liniowa, pochodna Frécheta), to mimo wszystko należy mieć na uwadze, że mogą one nie być ciągłe. Przekształcenia tego typu, mimo pozornie niepożądanych własności, znajdują zastosowanie w matematycznym opisie fizyki kwantowej.
* Jeśli są skończeniewymiarowymi przestrzeniami unormowanymi (nad tym samym ciałem), to każdy operator liniowy jest ciągły. Dowód:Każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana (ogólniej, przestrzeń liniowo-topologiczna) nad lub jest liniowo homeomorficzna odpowiednio z lub gdzie to wymiar przestrzeni Dowód wystarczy zatem przeprowadzić dla przypadku, gdy lub – w obydwu wypadkach jest on identyczny.Niech będzie bazą przestrzeni złożoną z wektorów jednostkowych. Z algebry liniowej wiadomo, że jeżeli to wartość można przedstawić w postaciNierówność trójkąta dla normy pociąga, iżNiech Z faktudla pewnego wynika, że wszystkie normy określone w przestrzeni skończeniewymiarowej są równoważne. Ostatecznie:Powyższe oszacowanie pokazuje, że jest operatorem ograniczonym, a zatem jest ciągły.
* Jeżeli jest przestrzenią nieskończeniewymiarową, to powyższy dowód załamie się, gdyż nie ma gwarancji istnienia supremum Jeżeli jest przestrzenią zerową to jedynym przekształceniem między a jest przekształcenie zerowe, które jest ciągłe w trywialny sposób. We wszystkich innych przypadkach, gdy jest nieskończeniewymiarowa, a nie jest zerowa, można znaleźć przekształcenie nieciągłe z w
xsd:nonNegativeInteger
15499