Dihedral group

rdf:langString Dihedrale groep

rdf:langString In de groepentheorie en de meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is een dihedrale groep (ook diëdergroep) de groep van symmetrieën van een (tweedimensionale) regelmatige veelhoek. Ook de bijbehorende abstracte groep wordt zo genoemd. Voor wordt de groep van symmetrieën van de regelmatige -hoek genoteerd als of . De groep heeft elementen, namelijk draaiingen en spiegelingen. Anders gezegd vormen de dihedrale groepen de symmetriegroepen van de regelmatige veelhoeken onder draaiing en spiegeling. Dihedrale groepen behoren tot de eenvoudigste voorbeelden van eindige groepen, en spelen een belangrijke rol in de groepentheorie, de meetkunde en de scheikunde. Onderscheiden moeten worden als isometriegroep in twee dimensies en als isometriegroep in drie dimendies, en de algebraïsche groep (de structuur van beide en nog andere isometriegroepen). Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van figuren die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie, is er voor een gegeven vlak voor elke waarde van slechts een zo'n groep . De groep in twee dimensies is spiegeling in een lijn, algebraïsch wel, maar meetkundig niet hetzelfde als (rotatiesymmetrie van orde 2): . De dihedrale isometriegroep in drie dimensies is de symmetriegroep die onder meer beschreven kan worden als die van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde . Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie, is er voor de driedimensionale ruimte weer voor elke waarde van slechts een zo'n groep, in drie dimensies, die dus beschreven kan worden als de symmetriegroep van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur, is meetkundig, anders dan in twee dimensies, wel hetzelfde als in drie dimensies (rotatiesymmetrie van orde 2). Dat laatste is ook een eenvoudiger beschrijving van deze symmetriegroep. In een context waar duidelijk is of het gaat om twee dimensies of drie dimensies is "symmetrie " dus eenduidig bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie binnen respectievelijk het vlak en de ruimte. Een formulering als "dihedrale symmetrie van orde 6" kan alleen gebruikt worden in een context waar ook duidelijk is of hiermee of bedoeld wordt. is alleen abels (commutatief) voor en . is de kleinste van alle niet-abelse groepen.