Density (polytope)

rdf:langString Densità (politopo)

rdf:langString In geometria, la densità di un è una generalizzazione in un numero maggiore di dimensioni del concetto di indice di avvolgimento in due dimensioni, e rappresenta il numero di avvolgimenti del poliedro attorno al proprio centro di simmetria. Essa può essere determinata tracciando una semiretta che vada da tale centro all'infinito, che passi solo attraverso le facet del politopo (che nel caso di un poliedro, ossia di un politopo tridimensionale, sono le facce) e non attraverso altri elementi di dimensione inferiore, e contando quindi quante ne attraversa. Per i poliedri per i quali quest'ultima quantità non dipende dalla scelta della semiretta e per i quali il centro di simmetria non giace su alcuna faccia, la densità è data dunque dal conteggio delle facce intersecate dalla semiretta. Lo stesso procedimento può essere svolto per qualunque poliedro convesso, anche privo di una qualunque simmetria, scegliendo come centro un punto al suo interno. Per tali poliedri la densità sarà sempre 1. Più in generale, per ogni poliedro non autointersecante, si può verificare che il valore della densità è pari a 1 attraverso un procedimento simile al precedente che consiste nello scegliere una semiretta che parte da un punto interno del poliedro e passa solo attraverso sue facce, e nell'aggiungere o sottrarre 1 ogni volta che la semiretta passa rispettivamente dall'interno all'esterno del poliedro o viceversa. Va notato che quest'ultimo procedimento non può in generale essere applicato ai poliedri stellati, poiché questi ultimi non hanno sempre un interno e un esterno ben definiti. La densità può essere similarmente definita nel caso delle tassellazioni con facce sovrapposte, come il numero di tasselli sovrapposti per ogni dato punto.