De Morgan algebra
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In mathematics, a De Morgan algebra (named after Augustus De Morgan, a British mathematician and logician) is a structure A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) such that:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) is a bounded distributive lattice, and
* ¬ is a De Morgan involution: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y and ¬¬x = x. (i.e. an involution that additionally satisfies De Morgan's laws) In a De Morgan algebra, the laws
* ¬x ∨ x = 1 (law of the excluded middle), and
* ¬x ∧ x = 0 (law of noncontradiction)
* (A, ≤) is a bounded distributive lattice, and
* ¬¬x = x, and
* x ≤ y → ¬y ≤ ¬x.
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En mathématiques, une algèbre de De Morgan (nommé d'après Auguste De Morgan, un mathématicien et logicien britannique) est une structure A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tel que:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) est un borné, et
* ¬ est une involution de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y et ¬¬x = x. Dans une algèbre de De Morgan, les lois
* ¬x ∨ x = 1 (Principe du tiers exclu), et
* ¬x ∧ x = 0 (Principe de non-contradiction) ne tiennent pas toujours. En présence des lois de De Morgan, une algèbre qui les satisfait devient une algèbre booléenne.
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Na matemática, uma Álgebra de De Morgan (assim chamada em homenagem a Augustus De Morgan, um matemático e lógico britânico) é uma estrutura A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tal que:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬ é uma involução de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y e ¬¬x = x. (i.e. uma involução que adicionalmente satisfaz as leis de De Morgan). Em uma álgebra de De Morgan, as leis
* ¬x ∨ x = 1 (lei do terceiro excluído), e
* ¬x ∧ x = 0 (princípio da não contradição)
* (A, ≤) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬¬x = x, e
* x ≤ y → ¬y ≤ ¬x.
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De Morgan algebra
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Algèbre de De Morgan
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Álgebra de De Morgan
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In mathematics, a De Morgan algebra (named after Augustus De Morgan, a British mathematician and logician) is a structure A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) such that:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) is a bounded distributive lattice, and
* ¬ is a De Morgan involution: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y and ¬¬x = x. (i.e. an involution that additionally satisfies De Morgan's laws) In a De Morgan algebra, the laws
* ¬x ∨ x = 1 (law of the excluded middle), and
* ¬x ∧ x = 0 (law of noncontradiction) do not always hold. In the presence of the De Morgan laws, either law implies the other, and an algebra which satisfies them becomes a Boolean algebra. Remark: It follows that ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬1 = 0 and ¬0 = 1 (e.g. ¬1 = ¬1 ∨ 0 = ¬1 ∨ ¬¬0 = ¬(1 ∧ ¬0) = ¬¬0 = 0). Thus ¬ is a dual automorphism of (A, ∨, ∧, 0, 1). If the lattice is defined in terms of the order instead, i.e. (A, ≤) is a bounded partial order with a least upper bound and greatest lower bound for every pair of elements, and the meet and join operations so defined satisfy the distributive law, then the complementation can also be defined as an involutive anti-automorphism, that is, a structure A = (A, ≤, ¬) such that:
* (A, ≤) is a bounded distributive lattice, and
* ¬¬x = x, and
* x ≤ y → ¬y ≤ ¬x. De Morgan algebras were introduced by Grigore Moisil around 1935, although without the restriction of having a 0 and a 1. They were then variously called quasi-boolean algebras in the Polish school, e.g. by Rasiowa and also distributive i-lattices by . (i-lattice being an abbreviation for lattice with involution.) They have been further studied in the Argentinian algebraic logic school of Antonio Monteiro. De Morgan algebras are important for the study of the mathematical aspects of fuzzy logic. The standard fuzzy algebra F = ([0, 1], max(x, y), min(x, y), 0, 1, 1 − x) is an example of a De Morgan algebra where the laws of excluded middle and noncontradiction do not hold. Another example is Dunn's 4-valued logic, in which false < neither-true-nor-false < true and false < both-true-and-false < true, while neither-true-nor-false and both-true-and-false are not comparable.
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En mathématiques, une algèbre de De Morgan (nommé d'après Auguste De Morgan, un mathématicien et logicien britannique) est une structure A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tel que:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) est un borné, et
* ¬ est une involution de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y et ¬¬x = x. Dans une algèbre de De Morgan, les lois
* ¬x ∨ x = 1 (Principe du tiers exclu), et
* ¬x ∧ x = 0 (Principe de non-contradiction) ne tiennent pas toujours. En présence des lois de De Morgan, une algèbre qui les satisfait devient une algèbre booléenne. Remarque: Il en découle que ¬(x∨y) = ¬x∧¬y, ¬1 = 0 et ¬0 = 1 (par exemple: ¬1 = ¬1∨0 = ¬1∨¬¬0 = ¬(1∧¬0) = ¬¬0 = 0). Ainsi ¬ est un double automorphisme. Les algèbres de De Morgan ont été introduites par Grigore Moisil autour de 1935. Bien que sans la restriction d'avoir un 0 et un 1. Les algèbres de De Morgan sont importantes pour l'étude des aspects mathématiques de la logique floue. L'algèbre floue F = ([0, 1], max (x, y), min (x, y), 0, 1, 1 - x) est un exemple d'algèbre de De Morgan où les lois du tiers exclu et de non-contradiction ne tiennent pas. Un autre exemple est la logique à quatre valeurs de Dunn, dans laquelle faux < ni-vrai-ni-faux < vrai et faux < vrai-et-faux < vrai, alors que ni-vrai-ni-faux et vrai-et-faux ne sont pas comparable.
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Na matemática, uma Álgebra de De Morgan (assim chamada em homenagem a Augustus De Morgan, um matemático e lógico britânico) é uma estrutura A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tal que:
* (A, ∨, ∧, 0, 1) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬ é uma involução de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y e ¬¬x = x. (i.e. uma involução que adicionalmente satisfaz as leis de De Morgan). Em uma álgebra de De Morgan, as leis
* ¬x ∨ x = 1 (lei do terceiro excluído), e
* ¬x ∧ x = 0 (princípio da não contradição) nem sempre se verificam. Na presença de leis de De Morgan, uma lei implica na outra, e uma álgebra que as satisfaz é dita álgebra booleana. Observação: segue-se que ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬1 = 0 e ¬0 = 1 (por exemplo, ¬1 = ¬1 ∨ 0 = ¬1 ∨ ¬¬0 = ¬(1 ∧ ¬0) = ¬¬0 = 0). É, portanto, um duplo automorfismo. Se ao invés disso o reticulado é definido em termos da ordem, i.e. (A, ≤) é uma ordem parcial limitada com um menor limitante superior (supremo) e maior limitante inferior (ínfimo) para cada par de elementos, e as operações ∧ e ∨ satisfazem a lei distributiva, então a complementação pode também ser definida como um anti-automorfismo involutivo, isto é, uma estrutura A = (A, ≤, ¬) tal que:
* (A, ≤) é um reticulado distributivo limitado, e
* ¬¬x = x, e
* x ≤ y → ¬y ≤ ¬x. Álgebras de De Morgan foram introduzidas por Grigore Moisil em cerca de 1935, embora sem a restrição de ter um 0 e um 1. Por isso, elas foram frequentemente chamadas de quase-álgebras booleanas na escola polaca, e.g. por Rasiowa e também i-reticulados distributivos por J. A. Kalman. (i-reticulado sendo uma abreviação para reticulado com involução.) Elas foram estudadas posteriormente na escola lógica algébrica argentina de Antonio Monteiro. Álgebras de De Morgan são importantes para o estudo dos aspectos matemáticos da lógica difusa. A álgebra difusa canônica F = ([0, 1], max(x, y), min(x, y), 0, 1, 1 − x) é um exemplo de álgebra de De Morgan, onde a lei do terceiro excluído e o princípio da não contradição não valem. Outro exemplo é a lógica 4-valorada de Dunn, na qual falso < nem verdadeiro, nem falso < verdadeiro e falso < ambos-verdadeiro-e-falso < verdadeiro, embora nem verdadeiro, nem falso e tanto-verdadeiro-quanto-falso não são comparáveis.
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