Control-Lyapunov function
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In control theory, a control-Lyapunov function (CLF) is an extension of the idea of Lyapunov function to systems with control inputs. The ordinary Lyapunov function is used to test whether a dynamical system is (Lyapunov) stable or (more restrictively) asymptotically stable. Lyapunov stability means that if the system starts in a state in some domain D, then the state will remain in D for all time. For asymptotic stability, the state is also required to converge to . A control-Lyapunov function is used to test whether a system is asymptotically stabilizable, that is whether for any state x there exists a control such that the system can be brought to the zero state asymptotically by applying the control u.
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控制李亞普諾夫函數（control-Lyapunov function）是在控制理论中，針對動態系統及控制輸入的李亞普諾夫函數。 原始的李亞普諾夫函數是要判斷动力系统是否穩定（更嚴格的要求是漸近穩定），也就是說，系統若啟始條件是在某一區域D中的狀態，最後是否可以持續的維持在區域D內。若要判斷漸近穩定，則要判斷系統最後是否會回到。 控制李亞普諾夫函數是判斷系統是否可以回授穩定（feedback stabilizable），也就是針對每一個狀態x，是否存在一控制輸入可以將系統帶回到原點。 考慮以下的獨立控制系統 其中 為狀態向量，為控制向量 目標是可以在區域內將其回授穩定到。 控制李亞普諾夫函數是指函數具有連續可微、正定（也就是在位置為0，其餘位置都是正值）的特性，而且使下式成立 最後一個條件是關鍵：對於每一個狀態x，可以找到可以降低能量V的控制項u。直覺上，若對於每一個狀態都可以找到方法降低能量，就可以將能量降到零，因此可以讓系統停止。這是透過Artstein定理證明的。 Artstein定理：動態系統有可微分控制李亞普諾夫函數的充份必要條件是存在一個可以穩定系統的回授u(x)。 特定系統的控制李亞普諾夫函數不一定好找，不過若是找到了這種函數，回授穩定化問題可以作相當的精簡，可以簡化為靜態的非線性最优化問題 對於每一個狀態x都成立。
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Control-Lyapunov function
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控制李亞普諾夫函數
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In control theory, a control-Lyapunov function (CLF) is an extension of the idea of Lyapunov function to systems with control inputs. The ordinary Lyapunov function is used to test whether a dynamical system is (Lyapunov) stable or (more restrictively) asymptotically stable. Lyapunov stability means that if the system starts in a state in some domain D, then the state will remain in D for all time. For asymptotic stability, the state is also required to converge to . A control-Lyapunov function is used to test whether a system is asymptotically stabilizable, that is whether for any state x there exists a control such that the system can be brought to the zero state asymptotically by applying the control u. The theory and application of control-Lyapunov functions were developed by and Eduardo D. Sontag in the 1980s and 1990s.
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控制李亞普諾夫函數（control-Lyapunov function）是在控制理论中，針對動態系統及控制輸入的李亞普諾夫函數。 原始的李亞普諾夫函數是要判斷动力系统是否穩定（更嚴格的要求是漸近穩定），也就是說，系統若啟始條件是在某一區域D中的狀態，最後是否可以持續的維持在區域D內。若要判斷漸近穩定，則要判斷系統最後是否會回到。 控制李亞普諾夫函數是判斷系統是否可以回授穩定（feedback stabilizable），也就是針對每一個狀態x，是否存在一控制輸入可以將系統帶回到原點。 考慮以下的獨立控制系統 其中 為狀態向量，為控制向量 目標是可以在區域內將其回授穩定到。 控制李亞普諾夫函數是指函數具有連續可微、正定（也就是在位置為0，其餘位置都是正值）的特性，而且使下式成立 最後一個條件是關鍵：對於每一個狀態x，可以找到可以降低能量V的控制項u。直覺上，若對於每一個狀態都可以找到方法降低能量，就可以將能量降到零，因此可以讓系統停止。這是透過Artstein定理證明的。 Artstein定理：動態系統有可微分控制李亞普諾夫函數的充份必要條件是存在一個可以穩定系統的回授u(x)。 特定系統的控制李亞普諾夫函數不一定好找，不過若是找到了這種函數，回授穩定化問題可以作相當的精簡，可以簡化為靜態的非線性最优化問題 對於每一個狀態x都成立。 有關控制李亞普諾夫函數是由Z. Artstein和在1980年代及1990年代所提出的。
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