Borsuk's conjecture

rdf:langString Problem geometryczny Karola Borsuka

rdf:langString Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach. Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul: Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1? (Borsuk pyta o zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, nie wystarczy). W roku 1945 opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a , w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego. Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla uzyskał polski matematyk Julian Perkal w 1947 i Anglik w 1955. Prostsze rozwiązania dla podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra i Węgier . Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające: a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do: nie zostało potwierdzone. J. Kahn i G. Kalai pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla oraz dla wszystkich Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla . Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla , zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64.