Artinian ideal
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In abstract algebra, an Artinian ideal, named after Emil Artin, is encountered in ring theory, in particular, with polynomial rings. Given a polynomial ring R = k[X1, ... Xn] where k is some field, an Artinian ideal is an ideal I in R for which the Krull dimension of the quotient ring R/I is 0. Also, less precisely, one can think of an Artinian ideal as one that has at least each indeterminate in R raised to a power greater than 0 as a generator.
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En álgebra abstracta, un ideal artiniano, llamado así por Emil Artin , se encuentra en la teoría de los anillos , en particular con los anillos polinomiales . Dado un anillo polinomial R = k[ X1, ... Xn] donde k es un cuerpo, un ideal artiniano es un ideal I en R para el cual la dimensión de Krull del anillo R/I es cociente 0. Además, menos precisamente, se puede pensar en un ideal artiniano como uno que tiene al menos cada indeterminado en R elevado a una potencia mayor que 0 como generador.
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Artinian ideal
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Ideal artiniano
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In abstract algebra, an Artinian ideal, named after Emil Artin, is encountered in ring theory, in particular, with polynomial rings. Given a polynomial ring R = k[X1, ... Xn] where k is some field, an Artinian ideal is an ideal I in R for which the Krull dimension of the quotient ring R/I is 0. Also, less precisely, one can think of an Artinian ideal as one that has at least each indeterminate in R raised to a power greater than 0 as a generator. If an ideal is not Artinian, one can take the Artinian closure of it as follows. First, take the least common multiple of the generators of the ideal. Second, add to the generating set of the ideal each indeterminate of the LCM with its power increased by 1 if the power is not 0 to begin with. An example is below.
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En álgebra abstracta, un ideal artiniano, llamado así por Emil Artin , se encuentra en la teoría de los anillos , en particular con los anillos polinomiales . Dado un anillo polinomial R = k[ X1, ... Xn] donde k es un cuerpo, un ideal artiniano es un ideal I en R para el cual la dimensión de Krull del anillo R/I es cociente 0. Además, menos precisamente, se puede pensar en un ideal artiniano como uno que tiene al menos cada indeterminado en R elevado a una potencia mayor que 0 como generador. Si un ideal no es artiniano, se puede tomar el cierre artiniano de la siguiente manera. Primero, tómese el mínimo común múltiplo de los generadores del ideal. Luego, agréguese al grupo generador del ideal cada indeterminado del mínimo común múltiplo con su potencia elevada en 1 si la potencia no es 0 para empezar. A continuación se muestra un ejemplo.
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